Bonjour, je n'arrive pas cet exercice, pouvez vous m'aider svp Merci
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audrey1451
1) a) Pour déterminer une équation cartésienne de la droite (AB), on peut utiliser la formule suivante :
y = mx + p
où m est le coefficient directeur de la droite et p est l'ordonnée à l'origine.
Le coefficient directeur m peut être calculé comme suit :
m = (yB - yA) / (xB - xA)
m = (5 - 2) / (1 + 1) = 3/2
L'ordonnée à l'origine p peut être calculée en utilisant les coordonnées d'un point de la droite, par exemple A :
p = yA - mxA
p = 2 - (3/2) x (-1) = 5/2
Donc l'équation cartésienne de la droite (AB) est y = (3/2)x + 5/2.
b) Pour déterminer l'équation réduite de la droite (BC), on peut utiliser la formule suivante :
y = mx + p
où m est le coefficient directeur de la droite et p est l'ordonnée à l'origine.
Le coefficient directeur m peut être calculé comme suit :
m = (yC - yB) / (xC - xB)
m = (-2 - 5) / (5 - 1) = -7/4
L'ordonnée à l'origine p peut être calculée en utilisant les coordonnées d'un point de la droite, par exemple B :
p = yB - mxB
p = 5 - (-7/4) x 1 = 13/4
Donc l'équation réduite de la droite (BC) est y = (-7/4)x + 13/4.
2) La distance AB peut être calculée en utilisant la formule suivante :
AB = V[(xB - xA)^2 + (yB - yA)^2]
AB = V[(1 + 1)^2 + (5 - 2)^2] = V26 cm (arrondi à 0,1 cm près)
3) Pour déterminer la nature du triangle ABC, on peut utiliser le théorème de Pythagore. Si les trois côtés d'un triangle vérifient l'inégalité de Pythagore, alors le triangle est rectangle.
Comme AC^2 + BC^2 = AB^2, on en déduit que le triangle ABC est rectangle en A.
4) Les coordonnées du point I milieu du segment [AC] sont les moyennes des coordonnées de A et de C. On a donc :
xI = (xA + xC) / 2 = (-1 + 5) / 2 = 2 yI = (yA + yC) / 2 = (2 - 2) / 2 = 0
Donc I a pour coordonnées (2; 0).
5) Pour trouver les coordonnées du point J, on peut utiliser la formule suivante pour la symétrie d'un point par rapport à un autre :
xJ = 2xA - xB yJ = 2yA - yB
On a donc :
xJ = 2 x (-1) - 1 = -3 yJ = 2 x 2 - 5 = -1
Donc J a pour coordonnées (-3; -1).
6) Pour trouver les coordonnées du point K, on peut utiliser la relation vectorielle BK = -BC. On sait que les coordonnées de BC sont (4; -7) (obtenues à partir des coordonnées de B et de C). Les coordonnées de BK sont donc (-4; 7). On a donc :
xBK = xB - xK yBK = yB - yK
et
xBK^2 + yBK^2 = BC^2
En utilisant la relation vectorielle, on peut remplacer xK et yK par -xB - 4 et -yB + 7, respectivement. On obtient ainsi un système d'équations à deux inconnues :
xB - (-xB - 4) = 8 yB - (-yB + 7) = -7
La solution de ce système est xB = 3' et yB = 1'. Donc K a pour coordonnées (3'; 1').
7) Pour démontrer que I, J et K sont alignés, il suffit de montrer que les vecteurs IK et IJ sont colinéaires. On a :
IK = (xK - xI) i + (yK - yI) j = (3' - 2) i + (1' - 0) j = i + j'
IJ = (xJ - xI) i + (yJ - yI) j = (-3 - 2) i + (-1 - 0) j = -5 i - j
Donc IK est colinéaire à IJ, ce qui signifie que les points I, J et K sont alignés.
8) Pour calculer l'aire du triangle BCJ, on peut utiliser la formule de l'aire d'un triangle :
aire = base x hauteur / 2
La base est la distance BC, qui vaut 165 cm. La hauteur est la distance entre B et la droite (BC), qui peut être calculée en utilisant la formule suivante :
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y = mx + p
où m est le coefficient directeur de la droite et p est l'ordonnée à l'origine.
Le coefficient directeur m peut être calculé comme suit :
m = (yB - yA) / (xB - xA)
m = (5 - 2) / (1 + 1) = 3/2
L'ordonnée à l'origine p peut être calculée en utilisant les coordonnées d'un point de la droite, par exemple A :
p = yA - mxA
p = 2 - (3/2) x (-1) = 5/2
Donc l'équation cartésienne de la droite (AB) est y = (3/2)x + 5/2.
b) Pour déterminer l'équation réduite de la droite (BC), on peut utiliser la formule suivante :
y = mx + p
où m est le coefficient directeur de la droite et p est l'ordonnée à l'origine.
Le coefficient directeur m peut être calculé comme suit :
m = (yC - yB) / (xC - xB)
m = (-2 - 5) / (5 - 1) = -7/4
L'ordonnée à l'origine p peut être calculée en utilisant les coordonnées d'un point de la droite, par exemple B :
p = yB - mxB
p = 5 - (-7/4) x 1 = 13/4
Donc l'équation réduite de la droite (BC) est y = (-7/4)x + 13/4.
2) La distance AB peut être calculée en utilisant la formule suivante :
AB = V[(xB - xA)^2 + (yB - yA)^2]
AB = V[(1 + 1)^2 + (5 - 2)^2] = V26 cm (arrondi à 0,1 cm près)
3) Pour déterminer la nature du triangle ABC, on peut utiliser le théorème de Pythagore. Si les trois côtés d'un triangle vérifient l'inégalité de Pythagore, alors le triangle est rectangle.
Ici, on a :
AC^2 = (5 + 1)^2 + (-2 - 2)^2 = 52
BC^2 = (5 - 1)^2 + (-2 - 5)^2 = 165
AB^2 = 26
Comme AC^2 + BC^2 = AB^2, on en déduit que le triangle ABC est rectangle en A.
4) Les coordonnées du point I milieu du segment [AC] sont les moyennes des coordonnées de A et de C. On a donc :
xI = (xA + xC) / 2 = (-1 + 5) / 2 = 2
yI = (yA + yC) / 2 = (2 - 2) / 2 = 0
Donc I a pour coordonnées (2; 0).
5) Pour trouver les coordonnées du point J, on peut utiliser la formule suivante pour la symétrie d'un point par rapport à un autre :
xJ = 2xA - xB
yJ = 2yA - yB
On a donc :
xJ = 2 x (-1) - 1 = -3
yJ = 2 x 2 - 5 = -1
Donc J a pour coordonnées (-3; -1).
6) Pour trouver les coordonnées du point K, on peut utiliser la relation vectorielle BK = -BC. On sait que les coordonnées de BC sont (4; -7) (obtenues à partir des coordonnées de B et de C). Les coordonnées de BK sont donc (-4; 7). On a donc :
xBK = xB - xK
yBK = yB - yK
et
xBK^2 + yBK^2 = BC^2
En utilisant la relation vectorielle, on peut remplacer xK et yK par -xB - 4 et -yB + 7, respectivement. On obtient ainsi un système d'équations à deux inconnues :
xB - (-xB - 4) = 8
yB - (-yB + 7) = -7
La solution de ce système est xB = 3' et yB = 1'. Donc K a pour coordonnées (3'; 1').
7) Pour démontrer que I, J et K sont alignés, il suffit de montrer que les vecteurs IK et IJ sont colinéaires. On a :
IK = (xK - xI) i + (yK - yI) j
= (3' - 2) i + (1' - 0) j
= i + j'
IJ = (xJ - xI) i + (yJ - yI) j
= (-3 - 2) i + (-1 - 0) j
= -5 i - j
Donc IK est colinéaire à IJ, ce qui signifie que les points I, J et K sont alignés.
8) Pour calculer l'aire du triangle BCJ, on peut utiliser la formule de l'aire d'un triangle :
aire = base x hauteur / 2
La base est la distance BC, qui vaut 165 cm. La hauteur est la distance entre B et la droite (BC), qui peut être calculée en utilisant la formule suivante :
hauteur = |yB - (-7/4)xB + 13/4| / V(1 + (-7/4)^2)
hauteur = |5 + (7/4) - 13/4| / V(1 + (7/4)^2)
hauteur = 3 / V65
Donc l'aire du triangle BCJ est :
aire = 165 x (3 / V65) / 2
aire ≈ 47,9 cm² (arrondi à 0,1 cm² près)