Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape :

a)

[tex]u_n=2^n+n\\v_n=2^n-n\\\\s_n=u_n+v_n=(2^n+n)+(2^n-n)=2*2^n=2^{n+1}\\\\\dfrac{s_{n+1}}{s_n} =\dfrac{2^{(n+1)+1}}{2^{n+1}} =2^{n+2-(n+1)}=2^{1}=2\\[/tex]

La suite [tex](s_n)[/tex] est donc géométrique de raison 2 et de premier terme [tex]s_0=2[/tex]

b)

[tex]d_n=u_n-v_n=2^n+n-(2^n-n)=2^n+n-2^n-n=2n\\d_{n+1}=2(n+1)\\d_{n+1}-d_n=2(n+1)-2n=2n+2-2n=2\\d_0=2*0=0\\\\[/tex]

La suite [tex](d_n)[/tex] est donc arithmétique de raison 2 et de premier terme [tex]d_0=0[/tex]

c)

[tex]U_n=u_0+u_1+u_2+...+u_n=1+3+6+11+...+(2^n+n)\\\\\displaystyle =\sum_{i=0}^n\ (2^n+n)\\=\sum_{i=0}^n\ 2^n+ \sum_{i=0}^n\ n\\\\=\dfrac{2^{n+1}-1}{2-1} +\dfrac{n*(n+1)}{2} \\\\\\\boxed{U_n=\dfrac{2^{n+2}+n*(n+1)-2}{2} }[/tex]