Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

1)

Voir scan

2)

a)

En vecteurs :

AC=AB+BC ( Chasles) mais BC=AD donc :

AC=AB+AD

b)

AE=AD+DE=AD+4DA=AD-4AD

AE=-3AD

c)

EF=EA+AF mais EA=3AD et AF=3AB donc :

EF=3AB+3AD

d)

Donc :

EF=3(AB+AD) mais AB+AD=AC ( d'après 2)a))

Donc :

EF=3AC , ce qui prouve que : (EF)//(AC)

3)

Voir scan.

4)

a)

MN=MA+AN=

MN=-(3/4)AB+3AD

b)

PN=PD+DN

Mais :

PD=-(1/2)DC=-(1/2)AB

DN=AN-AD=3AD-AD=2AD

Donc :

PN=-(1/2)AB+2AD

c)

De 4)b ) on déduit :

(3/2)PN=(3/2)(-1/2)AB+(3/2)(2)AD

(3/2)PN=-(3/4)AB+3AD

Donc :

MN=(3/2)PN

Ce qui prouve que les vecteurs MN et PN sont colinéaires donc que les points M, P et N sont alignés.