Explications étape par étape :

Ex1   f(0) = 1    A ( 0; 1 )     f(1) = -1    B ( 1 ; -1 )     f(-1 ; 1 )    C ( -1 ; 1 )

A ( 0 ; 1 ) ∈ Cf ,   f(0) = 1   ⇔ a * 0² + b * 0 + c = 1

                                              c = 1

B (1 ; -1 ) ∈ Cf  ,   f(1) = -1   ⇔ a * 1² + b * 1 + c = -1

                                              a + b + 1 = -1

                                              a + b = -1 - 1

                                              a + b = -2

C ( -1 ; 1 ) ∈ Cf  ,  f(-1) = 1   ⇔ a * (-1)² + b * (-1 ) + c = 1

                                               a -b + c = 1

                                               a - b + 1 = 1

                                               a - b = 1 - 1

                                                a - b = 0

a + b = -2   (1)

a - b = 0     (2)

(1) a = -b - 2

-b - 2 dans (2)    -b - 2 - b = 0

                        ⇔ -2b = 2

                        ⇔ b = -1

Dans (1)  a + (-1) = -2

           ⇔ a - 1 = -2

           ⇔ a = -1

Equation du second degré , forme: ax² + bx + c

Forme développée de f:   -x² - x + 1

Ex2

     f(x) = x² - 4x + 1

⇔  f(x) = x² - 4x + 4 - 4 + 1

⇔  f(x) = ( x - 2 )² - 3    Minimum en ( 2 ; -3 )

     g(x) = x² - x - 1

⇔   g(x) = x² - x + 1/4 - 1/4 - 1

⇔   g(x) = ( x - 1/2 )² -1/4 - 1

⇔   g(x) = ( x - 1/2 )² - 5/4      Minimum en ( 0,5 ; 1,25 )

      h(x) = 5x² + 6x + 7

⇔   h(x) = 5 ( x² + 6/5x ) + 7

⇔   h(x) = 5 ( x² + 6/5x + 9/25 - 9/25 ) + 7

⇔   h(x) = 5 [ ( x +3/5 )² - 9/25 ] + 7

⇔   h(x) = 5 ( x + 3/5 )² - 45/25 + 7

⇔   h(x) = 5 ( x + 3/5 )² - 9/5 + 7

⇔   h(x) = 5 ( x +3/5 )² + 26/5       Minimum en ( -0,6 ; 5,2 )

EX3

x² - 3x + 3

Δ = 3² - 4 ( 1 * 3 ) = -3

Δ < 0 pas de racines

Entre - ∞ et + ∞, signe de a

a est positif,    x² - 3x + 3 > 0

La parabole se situe au-dessus de l'axe des abscisses.

Ex4

9x² - 25 = 0

( 3x - 5 ) ( 3x + 5 ) = 0     Equation produit

   3x - 5 = 0                   ou               3x + 5 = 0

⇔ 3x = 5                                        ⇔ 3x = -5

⇔ x = 5/3                                       ⇔ x = -5/3

S = { -5/3 ; 5/3 }

   2x - x² = 0

⇔ x ( -x + 2 ) = 0

x = 0               ou       -x + 2 = 0

                               ⇔ -x = -2

                               ⇔ x = 2

S = { 0 ; 2 }

16x² + 8x + 1 = 0

Δ = 0

x = -b/2a

   x = -8/32

⇔ x = -1/4

S = { -1/4 }

2x² +5x - 3 = 0

Δ = 49

x₁ = -3

x₂ = 1/2

S = { -3 ; 0,5 }

2x² + x + 3 = 0

Δ = 1² - 4 (2*3 ) = -23

Pas de solution

x² + ( √3 - 1 ) x - √3 = 0

    Δ =  ( √3 - 1 )² - 4 ( 1 * -√3 )

⇔ Δ = 3 - 2√3 + 1 + 4√3

⇔ Δ ≅ 7,4641

x₁ ≅ -1,73

x₂ ≅ 1

S = { -1,73 ; 1 }