Bonjour, Je ne réussis pas à répondre à la question 2. Merci par avance.
Soit ABCD un rectangle. On place un point M libre sur le segment [AB]. Comme sur le figure ci-dessous, on trace un demi-cercle de diamètre [AM] et les triangle MBC. On note x la distance AM.
le graphique représente les aires f(x) et g(x) du demi-disque et du triangle.
Question :
1) Identifier les courbes de f et de g. Justifier
2) Retrouver les dimensions du rectangle ABCD.
3) Estimer graphiquement la valeur de x pour que le de-disque et le triangle aient la même aire. Puis en donner une valeur approchée au centième.
Voir le lien pour les documents iconographiques.
Soit ABCD un rectangle. On place un point M libre sur le segment [AB]. Comme sur le figure ci-dessous, on trace un demi-cercle de diamètre [AM] et les triangle MBC. On note x la distance AM.
le graphique représente les aires f(x) et g(x) du demi-disque et du triangle.
Question :
1) Identifier les courbes de f et de g. Justifier
2) Retrouver les dimensions du rectangle ABCD.
3) Estimer graphiquement la valeur de x pour que le de-disque et le triangle aient la même aire. Puis en donner une valeur approchée au centième.
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La fonction représentant l'aire du demi-cercle est donc croissante, et celle du triangle décroissante.
Donc f est représentée par la courbe rouge (ou violette) : c'est celle du demi-disque. Celle de g par la courbe bleue : c'est celle du triangle.
2) D'après le graphique :
g(7) = 0 donc l'aire du triangle égal 0 ce qui signifie que M=B
donc AB = 7
L'aire du triangle est égale à g(x) = base * hauteur/2 (* signifie multiplié par)
D'après le graphique, lorsque x = 0 alors g(0) = 21 et la base vaut AB = 7
donc
g(0) = AB * hauteur /2
21 = 7 * hauteur /2
21*2/7 = hauteur
hauteur = 42/7
hauteur = 6
Le rectangle ABCD est de longueur AB = 7 et de hauteur BC = 6.
3) Le demi-disque et le triangle ont la même aire signifie que les 2 courbes se coupent sur le graphique.
Donc graphiquement estime que x = 4,4
Par le calcul :
f(x) = g(x)
f(x) est la représentation de l'aire du demi-disque.
Or l'aire d'un disque vaut π.r² = π.d²/4
d'où l'aire d'un demi-disque vaut Pid²/8
Ici le diamètre d = x
donc f(x) = π.x²/8
et g(x) = MB * 6/2
or MB = 7-x
g(x) = (7-x) * 3
g(x) = -3x+21
d'où
f(x) = g(x)
π.x²/8 = -3x+21 (multiplions par 4 des 2 côtés du signe =)
π.x² = 8(-3x+21)
π.x² = -24x+168
π.x² + 24x - 168 = 0
Nous obtenons un trinôme du second degré ou a = π, b = 24 et c = -168
calcul de Δ = b²-4ac
Δ = 24² -4*pi*-168
Δ = 576 +672 pi
Δ = 2687.15
Δ > 0 donc 2 solutions
x1 = (-b-VΔ)/2a et x2 = (-b+VΔ)/2a
x1 = (-24-51.34)/2π et x2 = (-24+51.84)/2π
x1 = -75.34/2π et x2 = 27.84/2π
x1 = -37.67/π et x2 = 13.92/π
x1 = -11.99 et x2 = 4.43
Ici x ne peut pas être inférieur à 0 donc seul x2 est acceptable
Les aires du triangle et du demi-disque sont égales pour x = 4.43