Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

8)

Tu calcules f(-1) et tu trouves f(-1)=0 , ce qui prouve que x=-1 est racine de f(x)=0.

Donc f(x) peut s'écrire obligatoirement :

f(x)=[x-(-1)]*P(x) =(x+1)P(x)

avec P(x) polynôme de degré 3.

f(x) est de la forme : u*v avec :

u=x+1 donc u '=1

v=P(x) donc v '=P '(x)

On applique la formule : (uv) ' =u'v+uv' qui donne :

f '(x)=1*P(x)+(x+1)*P '(x)

f '(x)=P(x)+(x+1)*P '(x)--->ligne (1)

Mais on a vu que :

f '(x)=x³-3x²-4x

Or f '(-1)=0 car : (-1)³-3(-1)²-4(-1)=-1-3+4=0

Donc la ligne (1) donne :

P(-1)+(-1+1)P '(-1)=0

P(-1)+0=0

P(-1)=0

qui prouve que x=-1 est racine de  P(x).

Donc :

P(x)=[x-(-1)]Q(x) =(x+1)Q(x)

et :

f(x)=(x+1)(x+1)Q(x)

f(x)=(x+1)²Q(x)

avec Q(x) qui est un polynôme du second degré. OK ?

Donc :

f(x)=(x²+2x+1)(ax²+bx+c)

Il faut développer et par identification avec le f(x) donné , on arrive à :

a=1/4

b+2a=-1

a+2b+c=-2

b+2c=0

c=3/4

A la fin , on trouve :

a=1/4

b=-3/2

c=3/4

Donc :

f(x)=(x+1)²[(1/4)x²-(3/2)x+3/4]

f(x)=(x+1)²[(1/4)x²-(6/4)x+3/4]

f(x)=(1/4)(x+1)²(x²-6x+3)

On résout f(x)=0

(x+1)²(x²-6x+3)=0 soit :

(x+1)²=0 OU : x²-6x+3=0

Une racine double : x=-1

Puis on résout :

x²-6x+3=0

Δ=(-6)²-4*1*3=24 > 0

√24=√(4*6)=2√6

x1=(6+2√6)/2=3+√6

x2=3-√6

Les 4 racines de f(x) sont donc :

x=-1 : racine double .

x=3-√6 (≈ 0.55 )

x=3+√6 ( ≈ 5.45 )

Voir graph.