Bonjour! je suis bloquée sur cet exercice de mon devoir maison, pouvez-vous m’aider s’il vous plaît ? Merci d’avance et bonne journée :)
On considère les fonctions f et g définies sur R par : f(x) = x^3 et g(x)= x^2 + x + 2 ainsi que leurs
courbes respectives Cf et Cg dans un repère.
1) Montrer que le point A (2;8 ) appartient aux deux courbes.
2) Soit h la fonction définie su r R par: h(x) = f(x) - g(x).
a) Déterminer le tableau de variations de la fonction h.
b) En déduire le tableau de signes de h (x).
c) En déduire la position de la courbe Cf par rapport à la courbe Cg suivant les valeurs de x.
On considère les fonctions f et g définies sur R par : f(x) = x^3 et g(x)= x^2 + x + 2 ainsi que leurs
courbes respectives Cf et Cg dans un repère.
1) Montrer que le point A (2;8 ) appartient aux deux courbes.
2) Soit h la fonction définie su r R par: h(x) = f(x) - g(x).
a) Déterminer le tableau de variations de la fonction h.
b) En déduire le tableau de signes de h (x).
c) En déduire la position de la courbe Cf par rapport à la courbe Cg suivant les valeurs de x.
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Réponse :
Explications étape par étape :
f(x)=x³ et g(x)=x²+x+2
1) f(1)=8 et g(1)=8, donc le point A appartient aux deux courbes.
2) h(x)= f(x)-g(x) =x³-x²-x-2
a)étude de h(x)
Limites si x tend vers-oo , h(x) tend vers -oo
si x tend vers+oo, h(x) tend vers+oo
Dérivée: h'(x)=3x²-2x-1
h'(x) =0 pour x1=-1/3 et x2=1 ceci via delta
Tableau de signes h'(x) et de variations de h(x)
x -oo -1/3 1 +oo
h'(x) + 0 - 0 +
h(x) -oo croît h(-1/3) décroit h(1) croît +oo
h(-1/3)= ......(valeur<0) et h(1)=-5
D'après le TVI, h(x)=0 admet une et une seule solution comprise entre 1 et +oo . Elle est évidente c'est x=2 . (vérifie h(2)=0)
b) h(x) est <0 sur ]-oo; 2[ et h(x)>0 sur ]2;+oo[
c ) si x<2, Cf est en dessous de Cg et si x>2 Cf est au dessus de Cg .
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Nota : une autre méthode pour déterminer le signe de h(x) sans passer par l'étude de la fonction.
h(x)=x³-x²-x-2 on a vu que h(x)=0 pour x=2 car f(2)=g(2)
donc h(x)=(x-2)(ax²+bx+c)
par comparaison des coefficients ou par une simple division euclidienne on voit que h(x)=(x-2)(x²+x+1)
l'expression x²+x+1=0 n'a pas de solution elle est donc toujours>0
par conséquent le signe de h(x) dépend uniquement du signe de (x-2)
h(x)<0, si x<2 et h(x)>0 si x >2