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Bonjour,

Ex1)

1)b) on demande simplement de "justifier" :

(n + 1)! x (n + 2) = (1 x 2 x ... x n x (n+1)) x (n +2)

= 1 x 2 x .... x n x (n + 1) x (n + 2)

= (n + 2)!

2)b)

On vérifie bien qu'au rang 1 : S₁ = 1 x 1! = 1 et (1 + 1)! - 1 = 2! - 1 = 2 - 1 = 1

On suppose qu'au rang n : Sn = (n + 1)! - 1

Au rang (n+1) :

Sn+1 = Sn + (n + 1) x (n + 1)!

= (n + 1)! - 1 + (n + 1)(n + 1)!    par hypothèse de récurrence

= (n + 1)! x (1 + (n +1)) - 1

= (n + 2) x (n + 1)! - 1

= (n + 2)! - 1               (d'après 1)b) )

⇒ hérédité démontrée

Ex 2)

pour la 3 : -∞ et non +∞   (-n² ...)

5) √(n) - 2n = -2n(√(n)/-2n + 1) = -2n(-1/2√(n) + 1)

-1/2√(n) → 0 quand n →  +∞

donc lim (√(n) - 2n) = lim (-2n) = -∞

6) √(2n - 3) - √(n + 5)

= √(2n - 3) x [1 - √[(n + 5)/(2n - 3)]]     (si n ≠ 3/2)

√[(n + 5)/(2n - 3)] → √(n/2n) quand n → +∞, donc → √(1/2)

⇒ (1 - √[(n + 5)/(2n - 3)] → 1 - √(1/2) = (1 - 1/√2) = (√2 - 1)/√2 qui est > 0

et √(2n - 3) → +∞

donc lim ... = +∞

On peut aussi faire, en factorisant √(n), qui est le terme de plus haut degré :

√(2n - 3) - √(n + 5)

= √(n) x [√[2 - 3/√(n)] - √(n) x √[1 + 5/√(n)]

= √(n) x [√[2 - 3/√(n)] - √[1 + 5/√(n)]]

→ √(n) x [√(2) - √(1)]

donc → √(n) et donc vers +∞