Bonjour
Explications étape par étape :
Cas particulier :
1)
Prendre la moitié de 10 : 5
Elever cette moitié au carré : 5²=25
Ajouter ce carré à 39 : 39+25=64
Prendre la racine carrée de cette somme : √64=8
Soustraire à ce résultat la moitié de 10 : 8-5=3
a)
Résultat donné par l'algorithme : 3.
b)
En effet : 3²+10*3-39=0
2)
x²+10x-39=0
Δ=b²-4ac=(10)²-4(1)(-39)=256
√256=16
x1=(-10-16)/2=-13
x2=(-10+16)/2=3
L'algo du mathématicien ne donne que la racine positive.
Il faudrait modifier ainsi pour obtenir la racine négative :
Prendre l'opposé de la racine carrée de cette somme : -√64=-8
Soustraire à ce résultat la moitié de 10 : -8-5=-13
3)
Résoudre :
x²+3x=40
Prendre la moitié de 3 : 1.5
Elever cette moitié au carré :1.5²=2.25
Ajouter ce carré à 40 + 2.25=42.25
Prendre la racine carrée de cette somme : √42.25=6.5
Soustraire à ce résultat la moitié de 3 : 6.5-1.5=5
xo=5
On a bien : 5²+3*5=25+15=40
c)
On développe donc :
(x-5)(x-k)=x²-kx-5x+5k=x²+x(-k-5)+5k
Par identification avec :
x²+3x-40=0
Il faut :
-k-5=3 soit k=-5-3
k=-8
OU :
5k=-40
soit :
L'autre solution est donc : -8.
Cas général :
On doit donc résoudre :
x²+bx=c avec "b" et "c" qui sont 2 nbs positifs.
Prendre la moitié de b : b/2
Elever cette moitié au carré : (b/2)²=b²/4
Ajouter ce carré à c : b²/4 + c
Prendre la racine carrée de cette somme : √(b²/4 + c ) ==>tout est sous la racine. OK ?
Soustraire à ce résultat la moitié de b : √(b²/4 + c ) - b/2
On a : x²+bx-c=0
Pour écrire sous la forme :
Ax²+Bx+C=0
A=1 ; B=b ; C=-c
Pour résoudre : Ax²+Bx+C=0 , on calcule le discriminant :
Δ=B²-4AC
Il faut (B²-4AC) > 0 pour calculer 2 racines.
x1=(-B-√(B²-4AC))/2A
x2=(-B+√(B²-4AC))/2A
On remplace par les valeurs de A , B et C qui sont : A=1 , B=b et C=-c .
x1=(-b-√(b²+4c)/2
x2=(-b+√(b²+4c)/2
Comparons avec la formule trouvée à la question 1) ci-dessus :
√(b²/4 + c ) - b/2
On réduit au même dénominateur sous la racine :
√(b²/4 +4c/4 ) - b/2
√[(b²+4c)/4] -b/2
qui donne :
√(b²+4c)/√4 -b/2
√(b²+4c)/2 -b/2
(-b+√(b²+4c) / 2
qui est identique à x2 ci-dessus.
La formule de la question 1 correspond à une seule racine de l'équation.
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Bonjour
Explications étape par étape :
Cas particulier :
1)
Prendre la moitié de 10 : 5
Elever cette moitié au carré : 5²=25
Ajouter ce carré à 39 : 39+25=64
Prendre la racine carrée de cette somme : √64=8
Soustraire à ce résultat la moitié de 10 : 8-5=3
a)
Résultat donné par l'algorithme : 3.
b)
En effet : 3²+10*3-39=0
2)
a)
x²+10x-39=0
Δ=b²-4ac=(10)²-4(1)(-39)=256
√256=16
x1=(-10-16)/2=-13
x2=(-10+16)/2=3
b)
L'algo du mathématicien ne donne que la racine positive.
Il faudrait modifier ainsi pour obtenir la racine négative :
Prendre la moitié de 10 : 5
Elever cette moitié au carré : 5²=25
Ajouter ce carré à 39 : 39+25=64
Prendre l'opposé de la racine carrée de cette somme : -√64=-8
Soustraire à ce résultat la moitié de 10 : -8-5=-13
3)
a)
Résoudre :
x²+3x=40
Prendre la moitié de 3 : 1.5
Elever cette moitié au carré :1.5²=2.25
Ajouter ce carré à 40 + 2.25=42.25
Prendre la racine carrée de cette somme : √42.25=6.5
Soustraire à ce résultat la moitié de 3 : 6.5-1.5=5
b)
xo=5
On a bien : 5²+3*5=25+15=40
c)
On développe donc :
(x-5)(x-k)=x²-kx-5x+5k=x²+x(-k-5)+5k
Par identification avec :
x²+3x-40=0
Il faut :
-k-5=3 soit k=-5-3
k=-8
OU :
5k=-40
soit :
k=-8
L'autre solution est donc : -8.
Cas général :
1)
On doit donc résoudre :
x²+bx=c avec "b" et "c" qui sont 2 nbs positifs.
Prendre la moitié de b : b/2
Elever cette moitié au carré : (b/2)²=b²/4
Ajouter ce carré à c : b²/4 + c
Prendre la racine carrée de cette somme : √(b²/4 + c ) ==>tout est sous la racine. OK ?
Soustraire à ce résultat la moitié de b : √(b²/4 + c ) - b/2
2)
a)
On a : x²+bx-c=0
Pour écrire sous la forme :
Ax²+Bx+C=0
Il faut :
A=1 ; B=b ; C=-c
b)
Pour résoudre : Ax²+Bx+C=0 , on calcule le discriminant :
Δ=B²-4AC
Il faut (B²-4AC) > 0 pour calculer 2 racines.
x1=(-B-√(B²-4AC))/2A
x2=(-B+√(B²-4AC))/2A
On remplace par les valeurs de A , B et C qui sont : A=1 , B=b et C=-c .
x1=(-b-√(b²+4c)/2
x2=(-b+√(b²+4c)/2
Comparons avec la formule trouvée à la question 1) ci-dessus :
√(b²/4 + c ) - b/2
On réduit au même dénominateur sous la racine :
√(b²/4 +4c/4 ) - b/2
√[(b²+4c)/4] -b/2
qui donne :
√(b²+4c)/√4 -b/2
√(b²+4c)/2 -b/2
qui donne :
(-b+√(b²+4c) / 2
qui est identique à x2 ci-dessus.
La formule de la question 1 correspond à une seule racine de l'équation.