Réponse : Exercice 1 :
1) L'intervalle est ]0;30[
2) y = 60 - 2x
3) voir ci-dessous
4) voir ci-dessous
5a) voir ci-dessous
b) positif
c) f est croissante sur [0 ; 15]
6) f croissante sur [0;15] et décroissante sur [15;30]
7) voir ci-dessous
8) 450 m²
Exercice 2 : voir ci-dessous
Explications étape par étape :
1) Soit l'enclos du schéma :
Périmètre de l'enclos = 2x + y = 60
donc : 0 < 2x < 60 d'où : 0 < x < 30
On exclue assez logiquement les valeurs 0 et 30 qui donnerait un enclos sans surface, donc peu intéressant pour l'animal.
X appartient à l'intervalle ]0 ; 30[
2) On utilise la formule du périmètre ci-dessus :
2x + y = 60 donc : y = 60 - 2x
3) Aire enclos = xy = x (60 - 2x) = 60x - 2x² = A
Soit f définie par : f(x) = -2x² + 60x
On va utiliser que : ( x - 15)² = x² + 30x - 225
4) Soit x un réel :
f(x) = -2 (x² - 30x) = -2 [(x- 15)² - 225] = -2 (x - 15)² - (-2)x (-225)
f(x) = -2 (x - 15)² + 450
5) Soit a et b tel que : a ≤ b ≤ 15
a) f(b) - f(a) = -2 [(b - 15)² - (a - 15)²] + 450 - 450 = -2 [(b - 15)² - (a - 15)²]
Par l'identité fondamentale : a² - b² = (a - b)(a + b)
f(b) - f(a) = -2 (b - a)(b+ a - 30)
b) Comme a ≤ b alors : b - a ≥ 0
Comme a ≤ 15 et b ≤ 15 alors : b + a ≤ 30
donc : b + a - 30 ≤ 0
f(b) - f(a) est donc le produit de deux éléments négatifs et un seul positif, il est donc positif pour tout (b;a) tel que : a ≤ b ≤ 15
c) Si b ≥ a alors : f(b) - f(a) ≥ 0 donc : f(b) ≥ f(a)
Sur l'intervalle [O ; 15], f est donc croissante (et même strictement croissante)
6) Les fonctions x -> x² et x -> 60x sont dérivable sur R donc f est dérivable sur [O;30]
f'(x) = -4x + 60
f'(x) = 0 ⇔ -4x + 60 = 0 ⇔ 4x = 60 ⇔ x = 15
Sur [O;15] : f' est positive donc f est croissante
Sur [15 ; 30] : f' est négative donc f' est décroissante
7) voir image 1
8) L'aire maximale est de 450 m².
Exercice 2 :
Equation 1 : on développe : 6 - 21x = 4 - 2x - 1
on réduit : -21x + 6 = -2x + 3
soit : 21x - 2x = 6 - 3 donc : 19x = 3
La réponse est [tex]\frac{3}{19}[/tex]
Equation 2 : on met tout sous le même dénominateur :
[tex]\frac{54}{6} - \frac{4x + 14}{6} = \frac{4x}{6} - \frac{2}{6}[/tex]
On enlève les dénominateurs : 54 - 4x + 14 = 4x - 2
On réduit : (-4x + 68 = 4x - 2)⇔(8x = 70) ⇔(x = 8,75)
La solution est 8,75.
Inéquation 3 : (-1 + 4x ≤ 7 + 5x) ⇔ (x ≥ -8)
La solution est [-8 ; +∞[
Inéquation 4 : (5x - 1 > 8x + (x + 7)/3 )
On multiplie l'ensemble par 3 pour enlever la fraction :
(15x - 3 > 24x + x + 7) ⇔ (15x - 3 > 25x + 7)⇔(10x < -10) ⇔(x < -1)
La solution est ]-∞ ; -1[
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Réponse : Exercice 1 :
1) L'intervalle est ]0;30[
2) y = 60 - 2x
3) voir ci-dessous
4) voir ci-dessous
5a) voir ci-dessous
b) positif
c) f est croissante sur [0 ; 15]
6) f croissante sur [0;15] et décroissante sur [15;30]
7) voir ci-dessous
8) 450 m²
Exercice 2 : voir ci-dessous
Explications étape par étape :
1) Soit l'enclos du schéma :
Périmètre de l'enclos = 2x + y = 60
donc : 0 < 2x < 60 d'où : 0 < x < 30
On exclue assez logiquement les valeurs 0 et 30 qui donnerait un enclos sans surface, donc peu intéressant pour l'animal.
X appartient à l'intervalle ]0 ; 30[
2) On utilise la formule du périmètre ci-dessus :
2x + y = 60 donc : y = 60 - 2x
3) Aire enclos = xy = x (60 - 2x) = 60x - 2x² = A
Soit f définie par : f(x) = -2x² + 60x
On va utiliser que : ( x - 15)² = x² + 30x - 225
4) Soit x un réel :
f(x) = -2 (x² - 30x) = -2 [(x- 15)² - 225] = -2 (x - 15)² - (-2)x (-225)
f(x) = -2 (x - 15)² + 450
5) Soit a et b tel que : a ≤ b ≤ 15
a) f(b) - f(a) = -2 [(b - 15)² - (a - 15)²] + 450 - 450 = -2 [(b - 15)² - (a - 15)²]
Par l'identité fondamentale : a² - b² = (a - b)(a + b)
f(b) - f(a) = -2 (b - a)(b+ a - 30)
b) Comme a ≤ b alors : b - a ≥ 0
Comme a ≤ 15 et b ≤ 15 alors : b + a ≤ 30
donc : b + a - 30 ≤ 0
f(b) - f(a) est donc le produit de deux éléments négatifs et un seul positif, il est donc positif pour tout (b;a) tel que : a ≤ b ≤ 15
c) Si b ≥ a alors : f(b) - f(a) ≥ 0 donc : f(b) ≥ f(a)
Sur l'intervalle [O ; 15], f est donc croissante (et même strictement croissante)
6) Les fonctions x -> x² et x -> 60x sont dérivable sur R donc f est dérivable sur [O;30]
f'(x) = -4x + 60
f'(x) = 0 ⇔ -4x + 60 = 0 ⇔ 4x = 60 ⇔ x = 15
Sur [O;15] : f' est positive donc f est croissante
Sur [15 ; 30] : f' est négative donc f' est décroissante
7) voir image 1
8) L'aire maximale est de 450 m².
Exercice 2 :
Equation 1 : on développe : 6 - 21x = 4 - 2x - 1
on réduit : -21x + 6 = -2x + 3
soit : 21x - 2x = 6 - 3 donc : 19x = 3
La réponse est [tex]\frac{3}{19}[/tex]
Equation 2 : on met tout sous le même dénominateur :
[tex]\frac{54}{6} - \frac{4x + 14}{6} = \frac{4x}{6} - \frac{2}{6}[/tex]
On enlève les dénominateurs : 54 - 4x + 14 = 4x - 2
On réduit : (-4x + 68 = 4x - 2)⇔(8x = 70) ⇔(x = 8,75)
La solution est 8,75.
Inéquation 3 : (-1 + 4x ≤ 7 + 5x) ⇔ (x ≥ -8)
La solution est [-8 ; +∞[
Inéquation 4 : (5x - 1 > 8x + (x + 7)/3 )
On multiplie l'ensemble par 3 pour enlever la fraction :
(15x - 3 > 24x + x + 7) ⇔ (15x - 3 > 25x + 7)⇔(10x < -10) ⇔(x < -1)
La solution est ]-∞ ; -1[