Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

A)

1)

Cm(x)=C '(x)=3x²-60x+309

On développe ce qui est donné :

Cm(x)=3(x-10)²+9=3(x²-20x+100)+9=3x²-60x+309

Donc on a bien :

Cm(x)=3(x-10)²+9

2)

On peut raisonner ainsi :

Cm(x)-9=3(x-10)²

Mais (x-10)²est toujours positif ( ou nul pour x=10). Donc :

Cm(x)-9 ≥ 0 (et vaut zéro pour x=10).

Donc :

Cm(x) ≥ 9 (et vaut 9 pour x=10).

Le coût marginal est  minimal et vaut 9 € pour 10 paires de bottes fabriquées et vendues.

On peut raisonner aussi ainsi si tu as vu :

La fct f(x)=a(x-α)²+β avec a  > 0 passe par un minimum qui est β atteint pour x=α.

Donc pour Cm(x)=3(x-10)²+9 , etc..

B)

1)

Recette=R(x)=201x

B(x)=R(x)-C(x)

B(x)=201x-(x³-30x²+309x+500)

B(x)=-x³+30x²-108x-500

2)

B '(x)=-3x²+60x-108

3)

B '(x) est > 0 entre les racines car le coeff de x² est < 0.

Δ=b²-4ac=60²-4(-3)(-108)=2304

√2304=48

x1=(-60-48)/-6=18

x2=(-60+48)/-6=2

Variation de B(x) :

x---------->0.......................2..................18...................30

B '(x)------>.........-..............0......+...........0........-...........

B(x)-------->........D.............?........C.........?.......D..........?

D=flèche qui descend et C=flèche qui monte.

Tu indiques B(0); B(2); B(18) et B(30).

4)

B(18)=1444

B(x) est max pour 18 paires de bottes fabriquées et s'élève à 1444 €.