Réponse :

Explications étape par étape :

Bonjour

1) On fait changement de variable en X=e^x

L'équation devient : X²+2X-3=0 que l'on résout comme d'habitude :

Delta = b²-4ac=2²-4*1*(-3)=4+12=16

Les solutions sont X1=(-2+4)/2=1 et X2(-2-4)/2=-3

On revient à l'équation initiale on a donc

e^x=1 soit x=0

et

e^x=-3 ce qui est impossible puisque e^x>0

La seule solution est x=0

2) On sait que pour l'angle A, sinA=V3/2 équivaut à A=pi/3 ou A=2pi/3 sur [0;pi]

Les solutions sont donc x=pi/6 ou x=pi/3

3) (e^(2x-1))^-2-1>=0

Soit (e^(2x-1))^-2>=1

Soit 1/(e^(2x-1))²>=1

Soit e^(4x-2)<=1 (la fonction inverse est décroissante sur IR+)

Soit 4x-2<=ln1 (le logarithme est croissant)

Soit 4x<=2

et x<=1/2

Donc S=]-oo;1/2]

4) ∑e^(2k-1)=∑(e^2k)/e=1/e*∑e^2k

la suite e^2k est une suite géométrique de premier terme 1 et de raison e²

Il te suffit d'appliquer la formule de la somme des termes d'une suite géométriques

Même chose pour la deuxième somme avec une suite géométrique de premier terme 1 et de raison 1/e²