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Réponse :

Explications étape par étape

remarque;

si p² multiple de 3 alors p multiple de 3

raisonnons par l'absurde

si p n'est pas multiple de 3

alors p s'écrit 3k+1   ou 3k+2

p² devient

(3k+1²= 9k²+6k+1 =3(3k²+2k)+1  n'est pas multiple de 3 contraire à l'hypothèse

(3k+2)²= 9k²+12k+4  3( 3k²+4k)+4  n'est pas multiple de 3 contraire à l'hypothèse

d'où

si p² multiple de 3 p est aussi multiple de3

1)

si √3 est rationnel

alors il existe une fraction irréductible a/b

√3=a/b

3=a²/b²

a²=3b²     a² multiple de 3     d'où  a multiple de 3

2) a multiple de 3

a=3c

a²=3b²

9c²=3b²

3c=b²

d'où b² multiple de 3  d'où b multiple de 3

alors

a/b n'est pas irréductible

a et b divisibles par 3

contraire à l'hypothèse où

a/b irreductible

d'où

√3 ne peut s'écrire sous une fraction irréductible de 2 nombres entiers

d'où√3 est un nombre irrationnel