Réponse :

On te demande de faire un résonnement par récurrence.

L'initialisation revient à vérifier le résultat pour n=2:

(1-1/2²)x(1-1/3²) = (1-1/4)(1-1/9) = 3/4 x 8/9 = (3x8)/(4x9) = 2/3

(2 +2 )/( 2x(2+1)) = 4/6 = 2/3

La propriété est vraie pour n=2.

Pour l'hérédité, il faut que la propriété se propage au rang n>=2:

Supposons que la propriété est vraie pour n>=2

Alors on a:

(1-1/2²)x(1-1/3²)....(1-1/(n+1)²) = (n+2)/(2(n+1))

donc

(1-1/2²)x(1-1/3²)....(1-1/(n+1)²)(1-1/(n+2)²)  = (n+2)/(2(n+1))(1-1/(n+2)²)

(1-1/2²)x(1-1/3²)....(1-1/(n+1)²)(1-1/(n+2)²)  = (n+2)/(2(n+1))(((n+2)²-1)/(n+2)²)

(1-1/2²)x(1-1/3²)....(1-1/(n+1)²)(1-1/(n+2)²)  = (n+2)/(2(n+1))((n+1)(n+3)/(n+2)²)

grâce à l'identité remarquable a² - b² = (a+b)(a-b)

(1-1/2²)x(1-1/3²)....(1-1/(n+1)²)(1-1/(n+2)²)  = ( (n+2)(n+1)(n+3) )  / ( 2(n+1)(n+2)²)

puis on simplifie par (n+2)(n+1) à droite

(1-1/2²)x(1-1/3²)....(1-1/(n+1)²)(1-1/(n+2)²)  = ( (n+3) )  / ( 2(n+2) )

(1-1/2²)x(1-1/3²)....(1-1/(n+1)²)(1-1/(n+2)²)  = ( (n+1) + 2)  / ( 2((n+1) +1) )

On a la propriété au rang n+1

N'oublie pas de bien rédiger la récurrence étape par étape (présentation de la propriété > initialisation > hérédité > conclusion).

La rédaction est très importante, la mienne n'est que partielle.