Coucou je suis en terminale générale en spé mathématiques et je bloque vraiment dès la première ques.... Pergunta de ideia deAlessHappy

December 2020 1 128 Report

Coucou je suis en terminale générale en spé mathématiques et je bloque vraiment dès la première question d'un devoir maison sur les suites... si quelqu'un aurait du temps pour m'aider ce serait gentil :)

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francoismareau

Bonjour,

1) - A l'étape 1, il n'y a qu'un seul carré de côté 4, donc d'aire 16; soit $\boxed{a_1=16}$ .

- A l'étape 2, il y a le carré précédent plus un nouveau de côté 2 (donc d'aire 4). L'aire totale est 16+4=20 : $\boxed{a_2=20}$ .

- De même : $\boxed{a_3=21}$ et $\boxed{a_4=21+\frac{1}{4}=\frac{85}{4}=21,25}$ .

2) On va montrer ce résultat par récurrence sur $n \in \mathbb{N}^*$ .

Pour cela, il nous faut d'abord une relation de récurrence définissant notre suite. On a clairement, pour $n \ge 1$ :

$a_{n+1}=a_n+\Big(\frac{4}{2^n}\Big)^2=a_n+4^{2-n}$ .

Initialisation : n=1 -> $a_1=16=\frac{64}{3}(1-\frac{1}{4})$ OK.

Hérédité : Soit $n \ge 1$ tel que la propriété soit vraie au rang n. On va la montrer au rang n+1.

On a vu : $a_{n+1}=a_n+4^{2-n}$ , donc, par HR :

$a_{n+1}=\frac{64}{3} \left(1-\Big(\frac{1}{4} \Big)^n\right)+4^{2-n}=\frac{64}{3}-\frac{64}{3} \Big(\frac{1}{4} \Big)^n+\frac{16}{4^n}=\frac{64}{3}+\frac{1}{4^n}\Big(16-\frac{64}{3}\Big)$

donc : $a_{n+1}=\frac{64}{3}+\frac{1}{4^n}\Big(-\frac{16}{3}\Big)=\frac{64}{3}+\frac{1}{4^{n+1}}\Big(-\frac{16\times 4}{3}\Big)$ et donc :

$a_{n+1}=\frac{64}{3}\left(1-\frac{1}{4^{n+1}}\right)$ d'où la propriété au rang n+1.

Par principe de récurrence :

$\boxed{\forall n \ge 1, a_n=\frac{64}{3}\left(1-\frac{1}{4^n}\right).}$

3) Je te laisse faire. C'est très facile...

4)a) Pour $n \ge 1:$

$a_{n+1}-a_n=4^{2-n} \ge 0$ donc $a_{n+1} \ge a_n$ càd $\boxed{(a_n) \text{ est croissante.}}$ .

b) On a vu $a_n=\frac{64}{3}\left(1-\frac{1}{4^n}\right).}$ Donc $\lim_{n \to \infty} a_n =\frac{64}{3}$ car $\left|\frac{1}{4}\right|$ .

Ainsi, $(a_n)$ est croissante et converge vers 64/3. Elle est donc majorée par 64/3.

c) Je trouve $\boxed{n_0=13}$ .

Rq : La borne supérieure ( $a_n-\frac{64}{3} \le 10^{-6}$ ) est complétement inutile puisqu'on a montré que, pour tout $n \ge 1$ : $a_n-\frac{64}{3} \le 0$