Bonjour,
1) - A l'étape 1, il n'y a qu'un seul carré de côté 4, donc d'aire 16; soit .
- A l'étape 2, il y a le carré précédent plus un nouveau de côté 2 (donc d'aire 4). L'aire totale est 16+4=20 : .
- De même : et .
2) On va montrer ce résultat par récurrence sur .
Pour cela, il nous faut d'abord une relation de récurrence définissant notre suite. On a clairement, pour :
.
Initialisation : n=1 -> OK.
Hérédité : Soit tel que la propriété soit vraie au rang n. On va la montrer au rang n+1.
On a vu : , donc, par HR :
donc : et donc :
d'où la propriété au rang n+1.
Par principe de récurrence :
3) Je te laisse faire. C'est très facile...
4)a) Pour
donc càd .
b) On a vu Donc car .
Ainsi, est croissante et converge vers 64/3. Elle est donc majorée par 64/3.
c) Je trouve .
Rq : La borne supérieure () est complétement inutile puisqu'on a montré que, pour tout :
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Bonjour,
1) - A l'étape 1, il n'y a qu'un seul carré de côté 4, donc d'aire 16; soit .
- A l'étape 2, il y a le carré précédent plus un nouveau de côté 2 (donc d'aire 4). L'aire totale est 16+4=20 : .
- De même : et .
2) On va montrer ce résultat par récurrence sur .
Pour cela, il nous faut d'abord une relation de récurrence définissant notre suite. On a clairement, pour :
.
Initialisation : n=1 -> OK.
Hérédité : Soit tel que la propriété soit vraie au rang n. On va la montrer au rang n+1.
On a vu : , donc, par HR :
donc : et donc :
d'où la propriété au rang n+1.
Par principe de récurrence :
3) Je te laisse faire. C'est très facile...
4)a) Pour
donc càd .
b) On a vu Donc car .
Ainsi, est croissante et converge vers 64/3. Elle est donc majorée par 64/3.
c) Je trouve .
Rq : La borne supérieure () est complétement inutile puisqu'on a montré que, pour tout :