Bonjour ! Je suis en Terminale et je bloque sur cette récurrence... il faut prouver que pour tout n.... Pergunta de ideia declemterm

Bonjour,

C'est effectivement un peu difficile à aborder, puisqu'on ne voit pas trop où utiliser l'hypothèse de récurrence dans l'hérédité.

En fait, pour l'hérédité, il serait utile de pour pouvoir exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ . En supposant la propriété vraie au rang n, il sera alors facile de la déduire au rang n+1.

On cherche donc à exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ (ce qui s'appelle d'ailleurs une formule de récurrence pour la suite) :

$u_{n+1}=\frac{(n+1)((n+1)^2+5)}{6}=\frac{(n+1)(n^2+2n+6)}{6}=\frac{n^3+3n^2+8n+6}{6}=\frac{n^3+5n}{6}+\frac{3n^2+3n+6}{6}$

donc :

$u_{n+1}=\frac{n(n^2+5)}{6}+\frac{n^2+n}{2}+1 \Rightarrow \boxed{u_{n+1}=u_n+\frac{n(n+1)}{2}+1}$

On peut maintenant montrer par récurrence sur $n \in \mathbb{N}$ la propriété H(n):" $u_n$ est un entier naturel."

Initialisation : n=0

$u_0=0\in\mathbb{N}$ donc H(0) est vraie.

Hérédité : Soit $n \in \mathbb{N}$ tel que H(n) soit vraie; montrons H(n+1).

On a : $u_{n+1}=u_n+\frac{n(n+1)}{2}+1}$

et, par HR, $u_n \in \mathbb{N}$ donc il suffit de montrer $\frac{n(n+1)}{2} \in \mathbb{N}$ , càd que 2 divise n(n+1), càd que n(n+1) est pair.

Or, parmi n et n+1, l'un est pair (ce sont deux nombres entiers consécutifs). Donc leur produit est pair.

Ainsi, $\frac{n(n+1)}{2} \in \mathbb{N}$ , d'où $u_{n+1} \in \mathbb{N}$ , d'où H(n+1).

Par principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel n, càd : Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_n \in \mathbb{N}$ .

1 votes Thanks 1

clemterm Merci beaucoup pour votre réponse
J’oublie toujours de mettre Un+1 en fonction de Un pour pouvoir utiliser l’hypothèse de récurrence
Merci pour votre temps, bonne fin de week-end !

francoismareau De rien ! Bonne fin de week-end à toi aussi !

emma6974

Réponse :

Bjr,

- la propriété à démontrer

- initialisation : avec n = 0, on obtient un entier naturel

- hérédité : on suppose qu'à partir d'un certain rang n, la propriété est vraie.

Un+1 = (n + 1) ((n + 1)² + 5) / 6

Un+1 = (n^3 + 3 n² + 8 n + 6) / 6

Un+1 = ((n^3 + 5 n) + (3 n² + 3 n) + 6) / 6

Un+1 = n (n² + 5) / 6 + (n² + n) / 2 + 1

Un+1 = n (n² + 5) / 6 + 1 + n (n + 1) / 2

A ce stade, n (n² + 5) / 6 est un entier naturel tout comme 1.

La somme n (n² + 5) / 6 + 1 est aussi un entier naturel.

Il reste à vérifier si le dernier terme de la somme est un entier naturel.

Deux cas : n pair ou n impair

Si n pair, n de la forme 2 k avec k entier naturel :

n (n + 1) / 2 = 2 k (2 k + 1) / 2 = k (2 k + 1)

k (2 k + 1) est un entier naturel, alors n (n + 1) / 2 entier naturel.

Si n impair, n de la forme 2 k + 1 avec k entier naturel :

n (n + 1) / 2 = (2 k + 1) (2 k + 2) / 2 = (2 k + 1) (k + 1)

(2 k + 1) (k + 1) est un entier naturel, alors n (n + 1) / 2 entier naturel.

Un+1 se présente alors comme la somme de trois entiers naturels, donc aussi un entier naturel.

- conclusion

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clemterm Merci beaucoup pour votre réponse, c’est une façon très différente de montrer cette propriété que celle dans l’autre réponse que j’ai reçue. J’étais partie dans cette direction avec si n est pair ou si n est impair mais j’avais pas réussi à aboutir à une réponse
Merci pour votre temps
Bonne fin de week-end!

emma6974 Merci, de même

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