Bonjour,

1)a) Il suffit de remarquer que , donc pour tout entier n.

Ainsi, si n pair : .

b) Supposons que (E) admette une solution paire, notée n. Alors : .

Or, en utilisant :

doù, en écrivant n=2k avec k entier naturel :

.

Donc 8 divise 2k+1, donc 2 divise 2k+1 (car 2 divise 8), donc 2k+1 est pair. C'est absurde car 2k+1 est impair.

Ainsi, (E) n'admet pas de solution paire.

2) On va raisonner par équivalences pour éviter d'avoir à vérifier à la fin que les solutions trouvées conviennent bien.

Soit n un entier impair, noté n=2k+1 avec k entier.

On a les équivalences suivantes :

Ainsi, les solutions de (E) sont exactement les entiers congrus à 5 modulo 8.