Bonjour, je suis en terminale et je fais l’option maths expertes et j’aurais besoin d’aide sur ce dm svp


Tous les entiers de ce problème sont des entiers naturels.
On dit qu'un entier est parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs propres, c'est à dire à la
somme de tous ses diviseurs entiers naturels autres que lui-même.
Préliminaire :
Pour n entier naturel, on pose Sn = 1+ 2+2²+...+2^n.
Montrer que 1 + 2Sn = Sn + 2^n+1.
En déduire que Sn = 2^n+1 -1.
1. (a) Vérifier que 6 et 28 sont parfaits.
(b) Vérifier que ces deux nombres peuvent s'écrire sous la forme 2^n (2^n+1 -1) où 2^n+1 -1 est
premier.
2. Nous allons montrer que tout nombre de cette forme est un nombre parfait.
(a) Soit p un nombre premier et a le nombre a = 2^n p.
Quels sont les diviseurs premiers de a? Quels sont ses diviseurs propres ?
Montrer que leur somme est égale à 2^n+1 - 1+p(2^n -1).
(b) Supposons de plus que p = 2^n+1 -1.
Exprimer la somme des diviseurs propres de a = 2^n (2^n+1 -1) en fonction de n.
(c) En déduire que a est parfait.
3. Énoncer le résultat démontré et donner deux autres nombres parfaits.