Bonjour, je suis en TS et je viens de commencer la fonction exponentielle. J'ai un DM à faire mais je voudrais être sûre d'une chose pour la question 1), on ne peut le faire que graphiquement car par calcul c'est impossible étant donné qu'il faudrait calculer f(0) et donc diviser par 0 ?
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y = e^0 *(x-0) + e^0 = x + 1
2°) conjecture la courbe est au dessus de la tangente
3°)preuve
soit g(x) = e^x -(x+1) g '(x)=e^x -1 qui a le même signe que x
donc g est décroissante puis croissante et son minimum est g(0)=0
ceci montre que g(x) ≥0 et que e^x ≥(x+1)
4°)comme e^x ≥(x+1) alors en rempla çant "x" par "-x"
e^-x ≥(-x+1) ⇒ e^-x +x -1 ≥ 0
en multipliant cette inégalité par e^x qui est positif on déduit que
1 +(x -1)e^x ≥ 0
5°) f(x)= (e^x -1) *(1/x) et f '(x)= e^x *(1/x) + (e^x -1)*(-1/x²)
= (1/x² ) * ( x*e^x - e^x +1) = (1/x²) *( 1 +(x -1)e^x )
donc f '(x) >0 et f est croissante