Bonjour! J'espère que vous passez une bonne soirée! J'ai un devoir maison a rendre dans une semaine, et un des problèmes me pose certains maux de tête. Voici l'énoncé:
Un vase en verre a la forme d'un parallélépipède rectangle de hauteur 16 cm. Ce vase a une contenance de 900 cm3. Quelles dimensions doit-on donner à ce vase pour qu'il ait une surface en verre minimale ?
Ce devoir maison entre dans le chapitre des fonctions dérivées, je suppose donc qu'on est sensés les utiliser, mais je ne sais pas comment. Pourriez-vous m'aider, mais plutôt me donner la méthode de résolution plutôt que la réponse? Merci d'avance.
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croisierfamily
Réponse :Explications étape par étape :■ Volume = 900 cm³ et hauteur = 16 cm : donc Base = 900/16 = 56,25 cm² d' où côté de la Base carrée = √56,25 = 7,5 cm .■ Surface de verre MINI : fond + 4 faces latérales rectangulaires = 56,25 cm² + 4*7,5*16 = 536,25 cm² .■ remarque : si le vase était cylindrique : Rayon² = 56,25/π ≈ 17,905 cm² d' où Rayon ≈ 4,231 cm d' où Aire mini = 56,25 + 2*π*R*h = 56,25 + 2*π*4,231*16 ≈ 481,6 cm² .■ supposons une Base rectangulaire : on doit alors résoudre : L x largeur = 56,25 avec Aire = 56,25 + 2(L+largeur)*16 = 56,25 + 32(L+largeur) tableau des essais : largeur --> 1 2 3 4 5 6 7 7,5 cm Longueur -> 56,25 28,1 18,8 14,1 11,3 9,4 8,o4 7,5 cm Aire --> 1888 1o19 754 635 578 549 538 536,25 cm³ on remarque : Aire = 56,25 + 32(L + 56,25/L) d' où la dérivée A ' = 32 - 1800/L² cette dérivée est nulle pour L² = 1800/32 = 56,25 conclusion : l' Aire est bien mini pour L = 7,5 cm ce qui renvoie bien à la Base carrée ! ☺
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