ABCDEFGH est un cube de coté egal à 4 cm. I est un point de [EH], distinct de E et de H.On considère le plan (P) parallèle au plan (EBG) passant par I. On cherche à tracer la sectiondu cube par le plan (P). 

1)   Montrer que I n'est pas dans le plan (BEG), puis que l'intersection de (P) avec (EFG) est la droite (d₁) passant par I et parallèleà (EG). 

       On appelle J l'intersection de droite (d₁) avec [HG]. En déduire la trace de la section dans la face EFGH. 

       Puisque    I ∈ (HE)    

         et que     (HE) est sécante en E à (EG) et à (EB),

         alors       I ∉ (EBG)

       Puisque   (EBG) ⋂ (EFG)   est la droite (EG), diagonale du carré EFGH

         et que   (P) // (EBG)   par construction

         alors      (P) ⋂ (EFG)  est une droite (d₁) // (EG)

       Comme   I ∈ (EFG)   car   I ∈ (HE)   côté du carré EFGH,    

        et que    I ∈ (P)    par construction 

        alors       (P) ⋂ (EFG)  est une droite (d₁) // (EG) et passant par I

       Puisque   I ∈ (d₁)

         et que    J ∈ (d₁)

         alors      (IJ) est la même droite que (d₁) // (EG)

       Comme    I ∈ [HE]   et   J ∈ [HG]   avec [HE] et [HG] côtés de EFGH

         alors      la section de (d₁) dans la face EFGH est le segment [IJ] // (EG)

2)   Montrer que (IJ) est (FG) sont sécantes en un point R, puis que l'intersection de (P) avec (BCG) est la droite (d₂) passant par R et parallèle à (BG).

       On appelle K et L les intersections de la droite (d₂) avec [CG] et [BC]. En déduire la trace de la section dans face BCGF. 

       Puisque   (EG) ∈ (EFG)

         et que    (IJ) ∈ (EFG)

         alors       (EG) et (IJ) sont coplanaires

       Comme    (EG) // (IJ) en lui étant coplanaire

         et que    (EG) est sécante à (FG) en G

         alors       (IJ) est aussi sécante à (FG) en un point R.

      Puisque   (P) // (EBG)

        et que    (EBG) ⋂ (BCG)   est la droite (BG), diagonale du carré BCGF

        alors       (P) ⋂ (BCG)   est une droite (d₂) // (BG).

       Comme   R ∈ (BCG)   car   R ∈ (FG)  et que [FG] est un côté du carré BCEF,    

        et que    R ∈ (P)    puisqu'il est sur la droite (IJ) ∈ (P)

        alors       (P) ⋂ (BCG)   est une droite (d₂) // (BG) et passant par R.

       Puisque   K ∈ (d₂)

         et que    L ∈ (d₂)

         alors      (KL) est la même droite que (d₂) // (BG)

       Comme    K ∈ [CG]   et   L ∈ [BC]   avec [CG] et [BC] côtés de BCGF

         alors      la section de (d₂) dans la face BCGF est le segment [KL] // (BG)

3)   Montrer que (IJ) et (EF) sont sécantes en un point S, puis que l'intersection de (P) avec (ABE) est la droite (d₃) passant par S et parrallèle à (BE). 

      On appelle M et N les intersection de la droite (d3) avec [AE] et [AB]. En déduire la trace de la section dans la face ABFE. 

       Puisque  (EG) // (IJ) en lui étant coplanaire   (comme prouvé en 2)

         et que    (EG) est sécante à (EF) en E

         alors       (IJ) est aussi sécante à (EF) en un point R.

      Puisque   (P) // (EBG)

        et que    (EBG) ⋂ (ABE)   est la droite (EB), diagonale du carré ABFE.

        alors       (P) ⋂ (ABE)   est une droite (d₃) // (BE).

       Comme   S ∈ (ABE)   car   S ∈ (EF)  et que [EF] est un côté du carré ABFE,    

        et que    S ∈ (P)    puisqu'il est sur la droite (IJ) ∈ (P)

        alors       (P) ⋂ (ABE)   est une droite (d₃) // (BE) et passant par S.

       Puisque   M ∈ (d₃)

         et que    N ∈ (d₃)

         alors      (MN) est la même droite que (d₃) // (BE)

       Comme    M ∈ [AE]   et   N ∈ [AB]   avec [AE] et [AB] côtés de ABFE

         alors      la section de (d₃) dans la face ABFE est le segment [MN] // (BE)

4)   Finir de tracer la section

      Cf. fichier joint : la section est en bleu.