Bonjour, Merci de m'apporter une correction sur cet exo pour être sûr de rendre un devoir propre.
Soit la suit u(n)=(3^n)+4n-3 pour tous nEN.
On note w(n)=4n-3 et v(n)=3^n
1)a) Montrer que w(n) est arithmétique.
b) Montrer que v(n) est géométrique.
2)a) Calculer Wn=W(0)+w(1)+...+w(n)
b)Calculer V(n)=v(0)+v(1)+...+v(n)
c) Déduire U(n)=u(0)+u(1)+...+u(n)
Soit la suit u(n)=(3^n)+4n-3 pour tous nEN.
On note w(n)=4n-3 et v(n)=3^n
1)a) Montrer que w(n) est arithmétique.
b) Montrer que v(n) est géométrique.
2)a) Calculer Wn=W(0)+w(1)+...+w(n)
b)Calculer V(n)=v(0)+v(1)+...+v(n)
c) Déduire U(n)=u(0)+u(1)+...+u(n)
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1)a) Nous allons calculer:
w(n+1)-w(n)
=4(n+1)-3-(4n-3)
=4n+4-3-4n+3
=4
Comme on a une valeur constante donc w(n) est bien arithmétique de raison 4
b) Nous allons calculer le rapport suivant:
v(n+1)/v(n)
=3^(n+1)/3^n
=3(3^n)/3^n
=3
Comme on obtient une constante donc v(n) est bien géométrique de raison 3.
2)a) Comme w(n) est arithmétique donc la somme de ses termes est:
W(n)=w(0)+w(1)+...+w(n)
W(n)=(n+1)(w(0)+w(n))/2
W(n)=(n+1)(-3+4n-3)/2
W(n)=(n+1)(4n-6)/2
W(n)=(4n^2-6n+4n-6)/2
W(n)=2n^2-n-3
b) Comme v(n) est géométrique donc la somme de ses termes est:
V(n)=v(0)+v(1)+...+v(n)
V(n)=(1-q^(n+1))/(1-q) avec q=3 donc:
V(n)=(1-3^(n+1))/(-2)
V(n)=(3^(n+1)-1)/2
c) On a d'après l'énoncé:
U(n)=W(n)+V(n)
U(n)=(2n^2-n-3)+(3^(n+1)-1)/2