Réponse : Bonsoir,

1)a) .

g'(x)=0, donc g est constante sur .

b) Pour déterminer la constante, on calcule g(0):

.

c) Donc g(x)=1, pour tout .

Donc,pour tout x réel, on a:

.

3)a) .

Donc est solution de (E).

b) On étudie les variations de f.

Pour cela, on calcule la dérivée f':

.

f'(x) est du signe de 2-x sur .

x             -∞                             2                                 +∞

f'(x)                        +                Ф                -

f(x)          -∞  (croissante)      e^(-2)   (décroissante)   0

De plus, la solution de (E), e+1>2, elle est donc dans l'intervalle [2:+∞[.

Sur l'intervalle ]-∞;2], la limite de f en -∞ est -∞, et la fonction f est strictement croissante et f(2)=.

De plus, On a que , car la fonction exp est croissante.

Donc comme f est continue sur , donc sur l'intervalle ]-∞;-2], alors d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)= a une solution sur l'intervalle ]-∞;2].

C'est la deuxième solution de (E), après qu'on ait vu que l'autre solution e+1 était dans l'intervalle [2;+∞[.