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Bonjour ;

1.

On a : lim(x ---> - ∞) exp(4/x) = 1 et lim(x ---> - ∞) x + 3 = - ∞ ;

donc lim(x ---> - ∞) h(x) = - ∞ .

On a : lim(x ---> + ∞) exp(4/x) = 1 et lim(x ---> + ∞) x + 3 = + ∞ ;

donc lim(x ---> + ∞) h(x) = + ∞ .

lim(x ---> 0-) exp(4/x) = 0 et lim(x ---> 0-) x + 3 = 3 ;

donc lim(x ---> 0-) h(x) = 0 .

lim(x ---> 0+) exp(4/x) = + ∞ et lim(x ---> 0+) x + 3 = 3 ;

donc lim(x ---> 0+) h(x) = + ∞ .

2.

h ' (x) = (x + 3) ' exp(4/x) + (x + 3)(exp(4/x)) '

= (1) exp(4/x) + (x + 3)(4/x) ' exp(4/x)

= exp(4/x) + (x + 3)(- 4/x²) exp(4/x)

= exp(4/x) - 4(x + 3)/x² exp(4/x)

= (1 - 4(x + 3)/x²) exp(4/x)

= ((x² - 4x  - 12)/x²) exp(4/x)

= (x² - 4x - 12)((exp(4/x))/x²) .

Pour tout x appartenant à IR* , on a : (exp(4/x))/x² > 0 ;

donc : h ' (x) = (x² - 4x - 12)((exp(4/x))/x²) est du même signe

que x² - 4x - 12 .

3.

Résolvons tout d'abord l'équation : x² - 4x - 12 = 0 ;

On a donc : Δ = (- 4)² - 4 * 1 * (- 12) = 64 = 8² ;

donc : x1 = (4 - 8)/2 = - 2 et x2 = (4 + 8)/2 = 6 .

Comme le coefficient de second degré est 1 > 0 ;

donc pour x appartenant à ] - 2 ; 0[ ∪ ]0 ; 6[  ; x² - 4x - 12 < 0 ,

et pour x appartenant à ] - ∞ ; - 2 [ ∪] 6 ; + ∞ [ ; x² - 4x - 12 > 0 ;

donc pour x appartenant à ] - 2 ; 0[ ∪ ]0 ; 6[  ; h ' (x) < 0 ,

et pour x appartenant à ] - ∞ ; - 2 [ ∪] 6 ; + ∞ [ ; h ' (x) > 0 ;

donc pour x appartenant à ] - 2 ; 0[ ∪ ]0 ; 6[  ; h est strictement décroissante , et pour x appartenant à ] - ∞ ; - 2 [ ∪] 6 ; + ∞ [ ; h est strictement croissante .