Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

1)

a)

On  donc :

2x+2y=60

2(x+y)=60

x+y=30

Ce qui limite x à la valeur 30 et dans ce cas , y vaudra zéro.

Donc x ∈ [0;30]

b)

Le périmètre du  cercle de base=y.

Mais :

Le périmètre du  cercle de base=2πR

Donc :

2πR=y

R=y/2π

Mais :

x+y=30 donc : y=30-x qui donne :

R=(30-x)/2π

c)

Volume=aire base * hauteur

V=πR²*x

V=π[(30-x)/2π]²*x

V=π*x*(30-x)²/4π²

On simplifie par une fois π en haut et en bas :

V=x(30-x)²/4π

V(x)=(1/4π)*x*(30-x)²

d)

On trouve V max pour x=10 qui donne :

V(10)=318.31 cm³

2)

a)

On développe d'une part :

x(30-x)²-4000=x(900-60x+x²)-4000=900x-60x²+x³-4000

D'autre part :

(x-40)(x-10)²=(x-40)(x²-20x+100)=....je te laisse finir et trouver ce  qui est au-dessus.

b)

V(10)=(1/4π)*10*(30-10)²

V(10)=(1/4π)*4000 car 10*20²=4000

V(x)-V(10)=(1/4π)*x*(30-x)²-(1/4π)*4000

V(x)-V(10)=(1/4π)[x(30-x)²-4000)

qui donne d'après 2) a) :

V(x)-V(10)=(1/4π)(x-40)(x-10)²

V(x) - V(10) est donc du signe de (x-40)(x-10)².

(x-10)²≥ 0 car c'est un carré et vaut zéro pour x=10.

x-40 > 0 pour x > 4.

x--------------->0..............................10.......................30

(x-40)--------->............-...............................-.................

(x-10)²-------->............+..................0............+................

V(x)-V(10)----->..........-..................0............-................

Donc :

V(x)-V(10) ≤ 0 et vaut zéro pour x=10.

Donc :

V(x) ≤ V(10) qui prouve que V(x) passe par un max pour x=10 , max qui vaut environ 318.31 cm³.

Hauteur=10 cm

Largeur y=30-10=20 cm