Bonjour, pourriez m'aider à résoudre ce problème svp. Voici l'énoncé :À Amsterdam,
une agence lance
une campagne publi-
citaire sur une durée
de 15 semaines afin
de promouvoir une
nouvelle marque de
smoothies.
Une étude montre qu'après x semaines de campagne
publicitaire, le pourcentage de personnes de cette ville
ayant pris connaissance de la marque est modélisé par
la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 30) par :
f(x) = 75X
x+2
L'objectif fixé à l'agence par l'entreprise qui produit ce
smoothie est qu'au moins 70 % des habitants d'Ams-
terdam aient pris connaissance de cette marque.
a. Peut-on affirmer qu'après 10 semaines de publicité,
l'objectif est atteint ?
b. Étudier les variations de f sur l'intervalle [0 ; 30).
Aide
Dériver la fonction f et étudier le signe de f'(x).
c. Dans un repère, construire la courbe représenta-
tive de la fonction f sur [0 ; 30].
d. Après les 15 premières semaines de campagne,
l'agence demande un délai supplémentaire. Justifier
cette demande.
e. Combien de semaines supplémentaires seront néces-
saires à l'agence publicitaire pour atteindre l'objectif fixé
par l'entreprise ?
une agence lance
une campagne publi-
citaire sur une durée
de 15 semaines afin
de promouvoir une
nouvelle marque de
smoothies.
Une étude montre qu'après x semaines de campagne
publicitaire, le pourcentage de personnes de cette ville
ayant pris connaissance de la marque est modélisé par
la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 30) par :
f(x) = 75X
x+2
L'objectif fixé à l'agence par l'entreprise qui produit ce
smoothie est qu'au moins 70 % des habitants d'Ams-
terdam aient pris connaissance de cette marque.
a. Peut-on affirmer qu'après 10 semaines de publicité,
l'objectif est atteint ?
b. Étudier les variations de f sur l'intervalle [0 ; 30).
Aide
Dériver la fonction f et étudier le signe de f'(x).
c. Dans un repère, construire la courbe représenta-
tive de la fonction f sur [0 ; 30].
d. Après les 15 premières semaines de campagne,
l'agence demande un délai supplémentaire. Justifier
cette demande.
e. Combien de semaines supplémentaires seront néces-
saires à l'agence publicitaire pour atteindre l'objectif fixé
par l'entreprise ?
Lista de comentários
Réponse :
Bonjour
a) f(10) = 75×10/(10+2) = 750/12 = 62,5%
L'objectif des 70% n'est donc pas atteint après 10 semaines
b) f(x) = 75x/(x+2)
f'(x) = [75(x+2) - 75x]/(x+2)² = (75x + 150 - 75x)/(x+2)² = 150/(x+2)²
150 > 0 et (x+2)² > 0 donc f'(x) >0
La fonction f est donc strictement croissante sur [0 ; 30]
Pour compléter ton tableau de variation,f(0) = 0 et f(30) = 70,3125
c) voir pièce jointe
d) f(15) = (75×15)/(15+2) = 1125/17 ≈ 66,18%
Après 15 semaines,l'objectif des 70% n'est toujours pas atteint,ce qui justifie la demande d'un délai supplémentaire
e) On va chercher à résoudre f(x) ≥ 70
⇔ 75x/(x+2) ≥ 70
⇔ 75x ≥ 70(x+2) (car x+2 > 0)
⇔ 75x ≥ 70x + 140
⇔ 5x ≥ 140
⇔ x ≥ 28
Ils devront donc demander 13 semaines supplémentaires pour atteindre l'objectif