Bonjour pourriez vous m'aider à ces questions svp et merci d'avance:
On considère la fonction f définie sur IR par
1) Montrer que quelques soient a et b de IR tels que ( a ≠ b)
2) En déduire que la monotonie de f sur
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On considère la fonction f définie sur IR par
1) Montrer que quelques soient a et b de IR tels que ( a ≠ b)
2) En déduire que la monotonie de f sur
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Réponse :
Explications étape par étape :
■ f(x) = 1 / (x²-3x+7) est TOUJOURS positive
■ dérivée f ' (x) :
f ' (x) = - (2x-3)/(x²-3x+7)² = (3-2x)/(x²-3x+7)²
positive pour x < 1,5 .
■ Limite pour x tendant vers l' infini :
Lim f(x) = 0+ .
■ tableau :
x --> -∞ 0 1,5 3 +∞
f ' (x) -> + 3/49 0 - -3/49 -
f(x) --> 0+ 1/7 0,21 1/7 0+
2°) f est donc monotone croissante pour x < 1,5
( décroissante pour x > 1,5 )
1°) f(a) - f(b) = 1/(a²-3a+7) - 1/(b²-3b+7)
= (b²-3b+7 -a²+3a-7) / (a²-3a+7)(b²-3b+7)
= (b²-a²-3b+3a) / (a²-3a+7)(b²-3b+7)
= (b-a)(b+a)+3(a-b) / (a²-3a+7)(b²-3b+7)
= (a-b) (3-a-b) / (a²-3a+7)(b²-3b+7)
donc f(a) - f(b) / (a-b) = 3-a-b / (a²-3a+7)(b²-3b+7)
= 3-(a+b) / (a²-3a+7)(b²-3b+7)