Bonjour
Pourriez vous m'aider avec cette exercice sur les derivees svp?
Niveau 1ere S
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Soit la fonction f définie sur R-{4/3} tel que:
f(x)=(2x-1)/(4-3x)
1) On cherche l'ensemble des tangentes qui passe par le point A. Les tangentes à cette courbe auraient pour équation générale:
y=f'(a)(x-a)+f(a)
f est du type u/v donc sa dérivée sera du type (u'v-uv')/v²
u(x)=2x-1 donc u'(x)=2
v(x)=4-3x donc v'(x)=-3
f'(x)=[2(4-3x)+3(2x-1)]/(4-3x)²
f'(x)=(8-6x+6x-3)/(4-3x)²
f'(x)=5/(4-3x)²
3=[5/(4-3a)²]×(2-a)+(2a-1)/(4-3a)
3=[5(2-a)+(2a-1)(4-3a)]/(4-3a)²
3(4-3a)²=10-5a+8a-6a²-4+3a
3(4-3a)²=-6a²-6a-6
16-24a+9a²=-2a²-2a-2
11a²-22a+18=0
Δ=b²-4ac=(-22)²-4(11)(18)=-308≤0
donc il n'existe pas de tangente passant par A(2,3)
2) Si les tangentes sont parallèles y=x+5 alors elles ont le même coefficient directeur donc on peu écrire:
y=f'(a)(x-a)+f(a)
y=f'(a)x-f'(a)a+f(a)
On cherche donc:
f'(a)=1
5/(4-3a)²=1
5=(4-3a)²
5=16-24a+9a²
9a²-24a+11=0
Δ=b²-4ac=(-24)²-4(9)(11)=180
donc:
a(1)=(24+√180)/18=(24+6√5)/18=(4+√5)/3
a(2)=(24-√180)/18=(4-√5)/3
il existe donc 2 points où les tangentes à la courbe de f sont parallèle à y=x+5.