bjr

1)

x peut varier de 0 à 8 (m)    ( 8 m longueur du côté du jardin)

   x ∈ [0 ; 8]

2)

 carré noir du haut : mesure côté : x

                                       aire : x²

  carré noir du bas : mesure côté : 8 - x

                                         aire : (8 - x)²

somme de ces aires :

x² + (8 - x)² = x² + 64 - 16x + x²

                   = 2x² - 16x + 64

3)

forme canonique de 2x² - 16x + 64

2x² - 16x + 64 = 2(x² - 8x) + 64  (1)

(on met le coefficient de x² en facteur dans les deux premiers termes)

puis

x² - 8x = x² - 2*x*4

 c'est le début du développement de (x - 4)²     ;   [x² - 8x + 16]

x² - 8x = (x - 4)² - 16   on porte dans (1)

2x² - 16x + 64 = 2(x² - 8x) + 64

                       = 2[(x - 4)² - 16] + 64

                       = 2(x - 4)² - 32 + 64

                       = 2(x - 4)² + 32

4)

                    a) somme des aires = aire du jardin

aire du jardin : 8 x 8 = 64 (m²)

on choisit la forme 2x² - 16x + 64 ;  

2x² - 16x + 64 = 64                 [les termes 64 s'éliminent]

2x² - 16x = 0                      (factorisation facile)

2x(x - 8) = 0

x = 0    ou    x - 8 = 0

                      x = 8

deux solutions : 0 et 8

(quand x vaut 0 le carré noir du haut disparaît et l'autre prend toute la place;

quand x vaut 8 c'est le carré noir du bas qui disparaît)

                              b) somme des aires = (1/2)aire du jardin

(1/2) aire jardin = 32 (m²)

on choisit la forme 2(x - 4)² + 32

2(x - 4)² + 32= 32                       [ce sont les 32 qui disparaissent]

2(x - 4)² = 0

x - 4 = 0

x = 4

une solution : 4

(le grand carré est partagé en 4 carrés égaux)

                         c) somme des aires = (1/4)aire du jardin

(1/4) aire jardin = 16 (m²)

forme canonique : 2(x - 4)² + 32

2(x - 4)² + 32 = 16

2(x - 4)² + 32 - 16 = 0

2(x - 4)² +  16 = 0                   [  (x - 4)² ≥ 0]

cette équation n'a pas de solution car le premier membre est 16 ou supérieur à 16. Il ne peut s'annuler.

ce n'est pas possible.

                    d)  somme des aires = 40 m²

on utilise : 2(x - 4)² + 32

2(x - 4)² + 32 = 40

2(x - 4)² + 32 - 40 = 0

2(x - 4)²  - 8 = 0

(x - 4)² - 4 = 0

(x - 4)² - 2² = 0

(x - 4 - 2)(x - 4 + 2) = 0

(x - 6)x - 2) = 0

x = 6     ou     x = 2

deux solutions : 2 et 6

( cela correspond à des aires de 4 m² et 36 m² )