Réponse : 1) EC = [tex]\frac{\sqrt{5} }{2}[/tex] et AF = [tex]\frac{\sqrt{5} + 1 }{2}[/tex]

2)Il vaut  [tex]\frac{\sqrt{5} +1 }{2}[/tex]

Explications étape par étape :

1) Calcul de EC :

ABCD carré donc : CEB est rectangle en B.

Par le théorème de Pythagore : EC² = CB² + BE²

EC²  = 1² + 0,5² = 1,25 = [tex]\frac{5}{4}[/tex]

EC = [tex]\frac{\sqrt{5} }{2}[/tex]

E est le centre du cercle circonscrit à DCF donc : DE = EC = EF = [tex]\frac{\sqrt{5} }{2}[/tex]

A, E et F sont alignés dans cet ordre donc : AF = AE + EF = [tex]\frac{\sqrt{5} + 1 }{2}[/tex]

2)  [tex]\frac{AF}{AD} = \frac{\sqrt{5} + 1 }{2}[/tex] donc le rapport entre la longueur de DGFA et sa largeur est le nombre d'or.