Réponse :

1) déterminer les coordonnées du point G telles que vec(CG) = (2/3)vec(CO)

soit G(x ; y)  donc  vec(CG) = (x - 4 ; y - 4)  et vec(CO) = (0-4 ; 0-4) = (- 4 ; - 4)

2/3)vec(CO) = (- 8/3 ; - 8/3)

(x - 4 ; y - 4) = (- 8/3 ; - 8/3)  ⇔ x - 4 = - 8/3 ⇔ x = - 8/3 + 4 = 4/3

y - 4 = - 8/3 ⇔ y = - 8/3 + 4 = 4/3

Donc les coordonnées du point G sont:  G(4/3 ; 4/3)

2) montrer que les points A , G et A' sont alignés

A' milieu de (BC)  donc A'((4+2)/2 ; 4/2) = (3 ; 2)

les vecteurs AG et GA' sont colinéaires  ssi  x'y - y'x = 0

vec(AG) = (4/3 + 2 ; 4/3)  = (10/3 ; 4/3)

vec(GA') = (3 - 4/3 ; 2 - 4/3) = (5/3 ; 2/3)

5/3)*(4/3) - 2/3)*10/3 = 20/9 - 20/9 = 0

les vecteurs AG et GA' sont colinéaires donc les points A ; G et A' sont alignés

3) démontrer que vec(GA)+vec(GB)+vec(GC) = vec(0)

vec(GA) = (- 2 - 4/3 ; - 4/3) = (- 10/3 ; - 4/3)

vec(GB) = (2 - 4/3 ; - 4/3) = (2/3 ; - 4/3)

vec(GC) = (4 - 4/3 ; 4 - 4/3) = (8/3 ; 8/3)

vec(GA)+vec(GB)+vec(GC) = vec(0) ⇔  

(- 10/3 ; - 4/3) + (2/3 ; - 4/3) + (8/3 ; 8/3) = (- 10/3 + 2/3 + 8/3 ; - 4/3 - 4/3 + 8/3) = (-10/3 + 10/3 ; - 8/3 + 8/3) = (0 ; 0)

Explications étape par étape