Réponse :

1) démontrer que x → x² est croissante sur [0 ; + ∞[

soit  deux réels a et b  avec  a < b

f(a) = a²

f(b) = b²

....................

f(a) - f(b) = a² - b² = (a - b)(a + b)    puisque  a ≥ 0 et b ≥ 0 ⇒ (a + b) ≥ 0

or a ≤ b  ⇔ a - b ≤ 0   donc le produit  (a - b)(a + b) ≤ 0

⇔ f(a) - f(b) ≤ 0  ⇔ f(a) ≤ f(b)   donc f est croissante sur [0 ; + ∞[

2) démontrer que  x→ 1/x est décroissante sur ]0 ; + ∞[

 a < b

f(a) = 1/a

f(b) = 1/b

.........................

f(a) - f(b) = 1/a - 1/b  ⇔ f(a) - f(b) = (b - a)/ab    or a > 0 et b > 0  donc ab > 0

sachant que  a < b  ⇔  0 < b - a  ⇔ b - a > 0  donc  (b - a)/ab > 0

⇔ f(a) - f(b) > 0  ⇔ f(a) > f(b)  donc  f est décroissante sur ]0 ; + ∞[

3) démontrer que  x → √x  est croissante sur ]0 ; + ∞[

a > 0  et b > 0  tel que  a < b

f(a) = √a

f(b) = √b

..........................

f(a) - f(b) = √a - √b  ⇔  f(a) - f(b) = (√a - √b)(√a + √b)/(√a + √b)

 ⇔ f(a) - f(b) = (a - b)/(√a + √b)    or  √a + √b > 0

sachant que  a < b  ⇔ a - b < 0   donc le quotient  (a-b)/(√a+√b) < 0

⇔ f(a) - f(b) < 0  ⇔ f(a) < f(b)   donc f est croissante sur ]0 ; + ∞[  

Explications étape par étape :