Bonjour pourriez vous m’aidez pour ces 2 questions de mon exercice s’il vous plait :)
Soit ABCD un rectangle tel que AD=6 et DC=8. On note I le milieu de [AB] et J le milieu de [BC].
1) En vous plaçant dans un repère bien choisi ( faites une figure!), déterminer les produits scalaire de DI.DJ avec la quatrième définition du produit scalaire.
2) En remarquant que les produits scalaires: DI=DA+AI, et que DJ=DC+CJ (relation de Chasles) :
Déterminer d’une autre manière le produit scalaire DI.DJ
Merci d’avance pour vos réponses
Soit ABCD un rectangle tel que AD=6 et DC=8. On note I le milieu de [AB] et J le milieu de [BC].
1) En vous plaçant dans un repère bien choisi ( faites une figure!), déterminer les produits scalaire de DI.DJ avec la quatrième définition du produit scalaire.
2) En remarquant que les produits scalaires: DI=DA+AI, et que DJ=DC+CJ (relation de Chasles) :
Déterminer d’une autre manière le produit scalaire DI.DJ
Merci d’avance pour vos réponses
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Réponse:
Bonjour! Je serai ravi de vous aider avec ces deux questions.
Voici une représentation graphique du rectangle ABCD:
css
Copy code
A----I----B
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D---------C
Pour déterminer les produits scalaire de DI.DJ, nous avons besoin de trouver les vecteurs DI et DJ.
Le vecteur DI est donné par le vecteur AB divisé par 2, car I est le milieu de AB. Ainsi,
DI = 1/2 * AB
Nous pouvons trouver les composantes de AB en soustrayant les coordonnées de A de celles de B:
AB = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (8, 0)
Donc,
DI = 1/2 * AB = (4, 0)
De manière similaire, nous pouvons trouver le vecteur DJ:
DJ = 1/2 * BC
BC = (x_C - x_B, y_C - y_B) = (0, -6)
Donc,
DJ = 1/2 * BC = (0, -3)
Maintenant que nous avons DI et DJ, nous pouvons utiliser la quatrième définition du produit scalaire:
DI.DJ = |DI| * |DJ| * cos(theta)
où |DI| et |DJ| sont les normes de DI et DJ respectivement, et theta est l'angle entre les deux vecteurs.
Nous pouvons trouver les normes de DI et DJ en utilisant la formule:
|u| = sqrt(u_x^2 + u_y^2)
Ainsi,
|DI| = sqrt(4^2 + 0^2) = 4
|DJ| = sqrt(0^2 + (-3)^2) = 3
Il est facile de voir que DI et DJ sont orthogonaux (leurs directions sont perpendiculaires), donc l'angle entre eux est de 90 degrés. Donc,
cos(theta) = cos(90) = 0
Ainsi,
DI.DJ = |DI| * |DJ| * cos(theta) = 4 * 3 * 0 = 0
Donc, le produit scalaire DI.DJ est égal à zéro.
Nous pouvons également utiliser les relations de Chasles pour exprimer DI et DJ en termes de vecteurs plus simples:
DI = DA + AI
DJ = DC + CJ
Nous pouvons maintenant utiliser la définition du produit scalaire pour développer DI.DJ:
DI.DJ = (DA + AI).(DC + CJ)
En distribuant, nous obtenons:
DI.DJ = DA.DC + DA.CJ + AI.DC + AI.CJ
Maintenant, nous pouvons exprimer chaque terme en utilisant les coordonnées de A, B, C et D.
DA est simplement le vecteur AB avec les coordonnées de A soustraites:
DA = AB - OA
AB = (8, 0) (nous avons trouvé cela dans la première partie de la question)
OA = (0, 6) (car A est à une distance de 6 de l'axe des y)
Ainsi,
DA = AB - OA = (8, 0) - (0, 6) = (8, -6)
De manière similaire, nous pouvons trouver DC: