Bonjour pourriez vous m’aider à résoudre ces 3 premières questions svp et détailler les calculs merci.
Dans une entreprise, on installe un nouvel atelier de production d'un certain produit.
Pendant la période de « mise en route », la quantité produite le n-ième jour (avec n≥1 ) est donnée par
Un=80 -27 e^-0,1n
1. Calculer la limite de la suite (un)
2. Pour tout entier n≥1, on pose Vn=e^-0,1n a/ Justifier que la suite (vn) est géométrique, en précisant sa raison. b/ Calculer la somme V, +V, +... +V12
3. Calculer la quantité totale produite après 12 jours de fonctionnement.
Dans une entreprise, on installe un nouvel atelier de production d'un certain produit.
Pendant la période de « mise en route », la quantité produite le n-ième jour (avec n≥1 ) est donnée par
Un=80 -27 e^-0,1n
1. Calculer la limite de la suite (un)
2. Pour tout entier n≥1, on pose Vn=e^-0,1n a/ Justifier que la suite (vn) est géométrique, en précisant sa raison. b/ Calculer la somme V, +V, +... +V12
3. Calculer la quantité totale produite après 12 jours de fonctionnement.
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Réponse :
en compliqué ;
1. Limite de la suite (Un)(Un):
Pour calculer la limite de la suite (Un)(Un), on examine le comportement de UnUn lorsque nn tend vers l'infini :
limn→∞Un=limn→∞(80−27e−0.1n)limn→∞Un=limn→∞(80−27e−0.1n)
Comme e−0.1ne−0.1n tend vers 00 lorsque nn tend vers l'infini, la limite devient :
limn→∞Un=80−27×0=80limn→∞Un=80−27×0=80
Ainsi, la limite de la suite (Un)(Un) est 8080.
2. Suite géométrique (Vn)(Vn):
a/ Pour montrer que (Vn)(Vn) est une suite géométrique, nous devons démontrer que le rapport de deux termes successifs est constant. Calculons Vn+1VnVnVn+1 :
Vn+1Vn=e−0.1(n+1)e−0.1n=e−0.1VnVn+1=e−0.1ne−0.1(n+1)=e−0.1
Le rapport e−0.1e−0.1 est constant, donc la suite (Vn)(Vn) est une suite géométrique de raison e−0.1e−0.1.
b/ La somme des termes d'une suite géométrique jusqu'au rang nn est donnée par la formule :
Sn=V1(1−e−0.1n)1−e−0.1Sn=1−e−0.1V1(1−e−0.1n)
Pour V1=e−0.1V1=e−0.1 et n=12n=12, nous avons :
S12=e−0.1(1−e−0.1×12)1−e−0.1S12=1−e−0.1e−0.1(1−e−0.1×12)
3. Quantité totale produite après 12 jours (U12)(U12):
La quantité totale produite après 12 jours est la somme des quantités produites chaque jour jusqu'au jour 12 :
U12=∑n=112UnU12=∑n=112Un
Il suffit d'évaluer cette somme en utilisant la formule donnée pour UnUn.
en plus simple;
1. Limite de la suite (Un)(Un):
limn→∞Un=80limn→∞Un=80
2. Suite géométrique (Vn)(Vn):
a/ (Vn)(Vn) est géométrique avec une raison e−0.1e−0.1.
b/ S12=e−0.1(1−e−1.2)1−e−0.1S12=1−e−0.1e−0.1(1−e−1.2)
3. Quantité totale produite après 12 jours (U12)(U12):
U12=∑n=112UnU12=∑n=112Un (calculer chaque UnUn).
Explications étape par étape :