a) ABC est un triangle équilatéral, donc la hauteur issue de A, passe par le milieu de [BC], donc BH=2 cm.
Sur la figure, on observe que, pour , l'aire du triangle AMH est maximale quand x=0, et décroit, plus on se rapproche de x=2.
Pour , l'aire du triangle AMH est nulle, pour x=2, et augmente, plus on se rapproche de C, pour atteindre pour x=4, l'aire du triangle AHC.
On peut donc conjecturer le tableau de variations suivant:
x 0 2 4
f(x) (décroissante) Ф (croissante)
b) f(x) est l'aire du triangle AMH, pour tout x ∈ [0;4].
Deux cas se présentent:
i) Pour x ∈ [0;2], BM=x, donc MH=BH-BM=2-x.
ii) Pour x ∈ [2;4], BM=BH+MH, donc MH=BM-BH=x-2.
I) Calculons d'abord l'aire du triangle AMH, pour x ∈ [0;2].
Pour x ∈ [0;2], l'aire du triangle AMH, f(x) est:
Il nous reste à calculer la hauteur AH.
Dans le triangle ABH rectangle en H, d'après le théorème de Pythagore:
On a donc, pour x ∈ [0;2]:
II) L'aire du triangle AMH, pour x ∈ [2;4].
Dans ce cas:
La fonction f est donc une fonction affine par morceaux.
Pour x ∈ [0;2], , f est une fonction affine, et comme le coefficient directeur , alors f est strictement décroissante, sur l'intervalle [0;2].
On a f(0)=, et f(2)=.
Pour x ∈ [2;4], f(x)=, f est aussi affine dans ce cas là, et comme le coefficient directeur , alors f est strictement croissante sur l'intervalle [2;4].
On a que f(4)=.
On obtient donc le tableau de variations complet de f, pour x ∈ [0;4]:
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Réponse : Bonjour,
a) ABC est un triangle équilatéral, donc la hauteur issue de A, passe par le milieu de [BC], donc BH=2 cm.
Sur la figure, on observe que, pour , l'aire du triangle AMH est maximale quand x=0, et décroit, plus on se rapproche de x=2.
Pour , l'aire du triangle AMH est nulle, pour x=2, et augmente, plus on se rapproche de C, pour atteindre pour x=4, l'aire du triangle AHC.
On peut donc conjecturer le tableau de variations suivant:
x 0 2 4
f(x) (décroissante) Ф (croissante)
b) f(x) est l'aire du triangle AMH, pour tout x ∈ [0;4].
Deux cas se présentent:
i) Pour x ∈ [0;2], BM=x, donc MH=BH-BM=2-x.
ii) Pour x ∈ [2;4], BM=BH+MH, donc MH=BM-BH=x-2.
I) Calculons d'abord l'aire du triangle AMH, pour x ∈ [0;2].
Pour x ∈ [0;2], l'aire du triangle AMH, f(x) est:
Il nous reste à calculer la hauteur AH.
Dans le triangle ABH rectangle en H, d'après le théorème de Pythagore:
On a donc, pour x ∈ [0;2]:
II) L'aire du triangle AMH, pour x ∈ [2;4].
Dans ce cas:
La fonction f est donc une fonction affine par morceaux.
Pour x ∈ [0;2], , f est une fonction affine, et comme le coefficient directeur , alors f est strictement décroissante, sur l'intervalle [0;2].
On a f(0)=, et f(2)=.
Pour x ∈ [2;4], f(x)=, f est aussi affine dans ce cas là, et comme le coefficient directeur , alors f est strictement croissante sur l'intervalle [2;4].
On a que f(4)=.
On obtient donc le tableau de variations complet de f, pour x ∈ [0;4]:
x 0 2 4
f(x) (décroissante) Ф (croissante)