Bonjour Pourriez vous svp m’aider pour cette expo que je n’arrive pas à résoudre Merci.... Pergunta de ideia demaessabennani

maessabennani @maessabennani

December 2020 1 177 Report

Bonjour
Pourriez vous svp m’aider pour cette expo que je n’arrive pas à résoudre
Merci

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godetcyril

Réponse : Bonjour,

a) ABC est un triangle équilatéral, donc la hauteur issue de A, passe par le milieu de [BC], donc BH=2 cm.

Sur la figure, on observe que, pour $x \in [0;2]$ , l'aire du triangle AMH est maximale quand x=0, et décroit, plus on se rapproche de x=2.

Pour $x \in [2;4]$ , l'aire du triangle AMH est nulle, pour x=2, et augmente, plus on se rapproche de C, pour atteindre pour x=4, l'aire du triangle AHC.

On peut donc conjecturer le tableau de variations suivant:

x 0 2 4

f(x) (décroissante) Ф (croissante)

b) f(x) est l'aire du triangle AMH, pour tout x ∈ [0;4].

Deux cas se présentent:

i) Pour x ∈ [0;2], BM=x, donc MH=BH-BM=2-x.

ii) Pour x ∈ [2;4], BM=BH+MH, donc MH=BM-BH=x-2.

I) Calculons d'abord l'aire du triangle AMH, pour x ∈ [0;2].

Pour x ∈ [0;2], l'aire du triangle AMH, f(x) est:

$\displaystyle f(x)=\frac{MH \times AH}{2}$

Il nous reste à calculer la hauteur AH.

Dans le triangle ABH rectangle en H, d'après le théorème de Pythagore:

$AB^{2}=AH^{2}+BH^{2}\\AH^{2}=AB^{2}-BH^{2}\\AH^{2}=4^{2}-2^{2}=16-4=12\\AH=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

On a donc, pour x ∈ [0;2]:

$\displaystyle f(x)=\frac{2\sqrt{3}(2-x)}{2}=\sqrt{3}(2-x)=-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$

II) L'aire du triangle AMH, pour x ∈ [2;4].

Dans ce cas:

$\displaystyle f(x)=\frac{2\sqrt{3}(x-2)}{2}=\sqrt{3}(x-2)=\sqrt{3}x-2\sqrt{3}$

La fonction f est donc une fonction affine par morceaux.

Pour x ∈ [0;2], $f(x)=-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$ , f est une fonction affine, et comme le coefficient directeur $-\sqrt{3} < 0$ , alors f est strictement décroissante, sur l'intervalle [0;2].

On a f(0)= $2\sqrt{3}$ , et f(2)= $-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=0$ .

Pour x ∈ [2;4], f(x)= $\sqrt{3}x-2\sqrt{3}$ , f est aussi affine dans ce cas là, et comme le coefficient directeur $\sqrt{3} > 0$ , alors f est strictement croissante sur l'intervalle [2;4].