Réponse :
1) les points D ; E et F semblent être alignés
2) a) quelle est la nature de ce repère (A ; B ; D)
c'est un repère orthonormé car (AB) ⊥ (AD) et ||AB|| = ||AD|| car ABCD est un carré
b) donner sans justifier les coordonnées des points A; B et D
A(0 ; 0)
B(1 ; 0)
D(0 ; 1)
3) a) où se trouve le point K sur le segment (AB) ? Justifier
le point K se trouve au milieu du segment (AB); car E K est la médiatrice du segment (AB)
b) en déduire les coordonnées du point K
K(1/2 ; 0)
c) montrer que EK = √3/2
EKB triangle rectangle en K, donc d'après le th.Pythagore
EK² = EB² - KB² = 1 - (1/2)² = 1 - 1/4 = 4/4 - 1/4 = 3/4
donc EK = √(3/4) = (√3)/2
d) en déduire les coordonnées du point E
E(1/2 ; √3/2)
4) démontrer la conjecture émise à la question 1
les vecteurs DE et EF sont colinéaires ssi X'Y - Y'X = 0
vec(DE) = (1/2 ; √3/2 - 1) = (1/2 ; (√3 - 2)/2)
vec(EF) = ((2+√3)/2 - 1/2 ; 1/2 - √3/2) = (1+√3)/2 ; (1 - √3)/2)
X'Y - Y'X = 0 ⇔ (1+√3)/2 *(√3 - 2)/2 - (1 - √3)/2 * 1/2
⇔ (√3 - 2 + 3 - 2√3)/4 - (1 - √3)/4
⇔ (1 - √3)/4 - (1 - √3)/4 = 0 ; donc les vecteurs DE et EF sont colinéaires ; on en déduit donc que les points D ; E et F sont alignés
Explications étape par étape
■ conjecture = DEF alignés !
■ repère orthonormé car on part d' un carré !
A(0 ; 0) ; B(1 ; 0) ; D(0 ; 1)
■ K = milieu [AB] car ABE triangle équilatéral
abscisse de E = abscisse de K = 0,5
Pythagore dit : EK² + 0,5² = 1²
EK² + 0,25 = 1
EK² = 0,75 = 3/4
EK = √3 / 2 = 0,5√3
donc l' ordonnée de E est √3 / 2 .
■ équation de la droite (DE) ?
coeff directeur = (yD-yE) / (xD-xE)
= (1 - 0,5√3) / (-0,5)
= √3 - 2
y = (√3 - 2)x + b devient 1 = b
conclusion : (DE) y = (√3 - 2)x + 1 .
■ remplaçons y par 0,5 :
(√3 - 2) x = -0,5
x = 0,5 / (2 - √3)
x = 0,5 (2 + √3) / 1
x = 1 + 0,5√3
on retrouve bien l' abscisse du point F
conclusion : DEF sont bien alignés !
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Réponse :
1) les points D ; E et F semblent être alignés
2) a) quelle est la nature de ce repère (A ; B ; D)
c'est un repère orthonormé car (AB) ⊥ (AD) et ||AB|| = ||AD|| car ABCD est un carré
b) donner sans justifier les coordonnées des points A; B et D
A(0 ; 0)
B(1 ; 0)
D(0 ; 1)
3) a) où se trouve le point K sur le segment (AB) ? Justifier
le point K se trouve au milieu du segment (AB); car E K est la médiatrice du segment (AB)
b) en déduire les coordonnées du point K
K(1/2 ; 0)
c) montrer que EK = √3/2
EKB triangle rectangle en K, donc d'après le th.Pythagore
EK² = EB² - KB² = 1 - (1/2)² = 1 - 1/4 = 4/4 - 1/4 = 3/4
donc EK = √(3/4) = (√3)/2
d) en déduire les coordonnées du point E
E(1/2 ; √3/2)
4) démontrer la conjecture émise à la question 1
les vecteurs DE et EF sont colinéaires ssi X'Y - Y'X = 0
vec(DE) = (1/2 ; √3/2 - 1) = (1/2 ; (√3 - 2)/2)
vec(EF) = ((2+√3)/2 - 1/2 ; 1/2 - √3/2) = (1+√3)/2 ; (1 - √3)/2)
X'Y - Y'X = 0 ⇔ (1+√3)/2 *(√3 - 2)/2 - (1 - √3)/2 * 1/2
⇔ (√3 - 2 + 3 - 2√3)/4 - (1 - √3)/4
⇔ (1 - √3)/4 - (1 - √3)/4 = 0 ; donc les vecteurs DE et EF sont colinéaires ; on en déduit donc que les points D ; E et F sont alignés
Explications étape par étape
Réponse :
Explications étape par étape
■ conjecture = DEF alignés !
■ repère orthonormé car on part d' un carré !
A(0 ; 0) ; B(1 ; 0) ; D(0 ; 1)
■ K = milieu [AB] car ABE triangle équilatéral
abscisse de E = abscisse de K = 0,5
Pythagore dit : EK² + 0,5² = 1²
EK² + 0,25 = 1
EK² = 0,75 = 3/4
EK = √3 / 2 = 0,5√3
donc l' ordonnée de E est √3 / 2 .
■ équation de la droite (DE) ?
coeff directeur = (yD-yE) / (xD-xE)
= (1 - 0,5√3) / (-0,5)
= √3 - 2
y = (√3 - 2)x + b devient 1 = b
conclusion : (DE) y = (√3 - 2)x + 1 .
■ remplaçons y par 0,5 :
(√3 - 2) x = -0,5
x = 0,5 / (2 - √3)
x = 0,5 (2 + √3) / 1
x = 1 + 0,5√3
on retrouve bien l' abscisse du point F
conclusion : DEF sont bien alignés !