Réponse :

Les points A et B ont pour coordonnées A(1; 2)

et B(-1; 1).

1. Déterminer l'équation réduite de la droite d1

passant par A et parallèle à la droite d'équation

y = 2x - 1.

l'équation réduite  peut s'écrire  y = 2 x + b

2 = 2 + b  ⇒ b = 0

donc l'équation réduite est  :  y = 2 x

2. Déterminer une équation cartésienne

de la droite d2 passant par B et parallèle à la droite

d'équation 2x – 4y - 1 = 0.

d2 d'équation cartésienne a x + b y + c;  a un même vecteur directeur v de 2 x - 4 y - 1 = 0

(- b ; a) = (- 4 ; 2)  ⇔ - b = - 4 ⇔ b = 4  et a = 2

donc  d2 :   2 x - 4 y + c = 0

d2 passe par le point  B(- 1 ; 1)  ⇔ 2*(- 1) - 4*(1) + c = 0  ⇒ c = 6

donc  d2  a pour équation cartésienne : 2 x - 4 y + 6 = 0

3. Démontrer que d1 et d2 sont sécantes en A.

d1  : y = 2 x   et  d2 : 2 x - 4 y + 6 = 0

vecteur directeur de d1 :  u(- 1 ; 2)

                                   d2 ;  v(4 ; 2)

det(u ; v) = xy' - x'y = - 1*2 - 4*2 = - 2 - 8 = - 10 ≠ 0  donc les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires  donc les droites d1 et d2 sont sécantes

A(1 ; 2)   ⇒ d1 : y = 2 x  ⇔ 2 = 2*1  ⇒ A ∈ d1

A(1 ; 2) ⇒  d2 :  2 x - 4 y + 6 = 0  ⇔ 2*1 - 4*2 + 6 = 8 - 8 = 0 ⇒ A ∈ d2

donc les droites d1 et d2 sont sécantes au point A

4. Déterminer une équation de la droite d3 passant

par B et parallèle à la droite d'équation x=-2.

d3 : x = - 1

5. Vérifier que le point P(-1;-2) est le point  d'intersection de d1, et d3    

d1 :  y = 2 x   ⇒ P(- 1 ; - 2)  ⇒ - 2 = 2 * (-1)   donc  P ∈ d1

d3 ; x = - 1  ⇒ P(- 1 ; - 2)  ⇒ - 1 = - 1   donc  P ∈ d3  

Explications étape par étape :