Bonsoir,

Exercice 1

1) L'entier qui suit x est x + 1 et l'entier qui précède x est x - 1.

2) 3 entiers consécutifs : x ; x + 1 et x + 2, ce qui donne :

x + x+1 + x+2 = 3x + 3 = 3(x+1)

On obtient bien un multiple de 3.

3) x ; x+1 ; x+2 ; x+3 ; x+4

On isole x+2, ce qui donne :

x + x+1 + x+3 + x+4 = 4x + 8 = 4(x+2)

On obtient bien un multiple de 4.

Exercice 2 :

1) Nombre pair = 2k

Nombre impair = 2k + 1

2) • a et b sont 2 entiers pairs : a = 2k et b = 2k'

Somme : a + b = 2k + 2k' = 2(k+k') => nombre pair

Différence : a - b = 2k - 2k' = 2(k - k') => nombre pair

Produit : a × b = 2k × 2k' = 4kk' = 2× 2kk' => nombre pair

• a et b sont 2 entiers impairs : a = 2k+1 et b = 2k'+1

Somme : a + b = 2k+1 + 2k'+1 = 2k + 2k' + 2 = 2(k+k'+1) => nombre pair

Différence : a - b = (2k+1)-(2k'+1) = 2k+1 - 2k'-1 = 2k - 2k' = 2(k - k') => nombre pair

Produit : a × b = (2k+1)(2k'+1) = 4kk' + 2k + 2k' + 1 = 2(2kk'+k+k') + 1 => nombre impair

• a nombre impair et b nombre pair

a = 2k+1 et b = 2k'

Somme : a + b = 2k+1 + 2k' = 2(k+k') + 1 => nombre impair

Différence : a - b = 2k+1 - 2k' = 2(k-k') + 1 => nombre impair

Produit : a × b = (2k+1)×2k' = 4kk' + 2k' = 2(2kk'+k') => nombre pair

3) • 2 nombres impairs consécutifs : 2k+1 et 2k+3

Somme : 2k+1 + 2k + 3 = 4k + 4 = 4(k+1) => multiple de 4

• 2 nombres pairs consécutifs : 2k et 2k+2

Somme : 2k + 2k+2 = 4k + 2 => n'est pas un multiple de 4

4) Nombre pair : 2k

carré d'un nombre pair : (2k)² = 2k × 2k = 4k² => multiple de 4

Nombre impair : 2k+1

Carré d'un nombre impair : (2k+1)² = 4k² + (2×2k×1) + 1² = 4k² + 4k + 1 = 4(k²+k)+1 => nombre impair

5) x et x+1 sont 2 entiers naturels consécutifs

Différence des carrés de deux nombres entiers naturels consécutifs : (x+1)² - x² = (x+1+x)(x+1-x) = (2x+1) => nombre impair

987² - 986² = 2×986 + 1=1972 + 1 = 1 973