Réponse :

Pour déterminer les valeurs de a et b dans la suite u_k = (a_k + b) * 2^k de telle sorte que u_{k+1} / u_k = k^2 * 2^k, commençons par calculer u_{k+1} / u_k :

u_{k+1} / u_k = ((a_{k+1} + b) * 2^{k+1}) / ((a_k + b) * 2^k)

Maintenant, nous pouvons simplifier cette expression :

(u_{k+1} / u_k) = ((a_{k+1} + b) * 2^{k+1}) / ((a_k + b) * 2^k)

(u_{k+1} / u_k) = (a_{k+1} + b) * 2

(u_{k+1} / u_k) = 2 * a_{k+1} + 2b

Maintenant, nous avons l'expression pour u_{k+1} / u_k. Étant donné que u_{k+1} / u_k = k^2 * 2^k, nous pouvons égaler les deux expressions :

2 * a_{k+1} + 2b = k^2 * 2^k

Divisons des deux côtés par 2 :

a_{k+1} + b = k^2 * 2^{k-1}

Maintenant, nous avons une équation qui relie a_{k+1} et b à k. Nous pouvons résoudre cette équation en utilisant une valeur spécifique de k. Par exemple, lorsque k = 1, nous avons :

a_2 + b = 1^2 * 2^{1-1} = 1

Maintenant, nous pouvons utiliser cette équation pour déterminer a_2 :

a_2 = 1 - b

Maintenant, nous avons trouvé a_2 en termes de b. Nous pouvons également utiliser cette relation pour déterminer a_3 :

a_3 = 1 - b

Il semble que a_n est constant, indépendant de n. Donc, nous pouvons écrire a_n = a pour une certaine constante a. Maintenant, utilisons cette information pour déterminer b. Reprenons l'équation a_{k+1} + b = k^2 * 2^{k-1} :

a + b = k^2 * 2^{k-1}

Maintenant, évaluons cette équation pour k = 2 :

a + b = 2^2 * 2^{2-1} = 2^3 = 8

Donc, nous pouvons maintenant déterminer la valeur de b :

b = 8 - a

Maintenant que nous avons trouvé a et b, nous pouvons déterminer la somme S_n = Σ(k^2 * 2^k) de 1 à n. En utilisant les valeurs de a et b que nous avons trouvées, nous pouvons écrire :

S_n = Σ(k^2 * 2^k) de 1 à n

S_n = Σ((k^2 * 2^k) + (k^2 * 2^k)) de 1 à n

S_n = Σ(k^2 * 2^k) de 1 à n + Σ(k^2 * 2^k) de 1 à n

Maintenant, nous pouvons utiliser la relation u_k = (a + b) * 2^k que nous avons trouvée au début pour écrire :

Σ(k^2 * 2^k) de 1 à n = Σ(u_k) de 1 à n

Maintenant, nous pouvons exprimer la somme en termes de u_k :

S_n = Σ(u_k) de 1 à n + Σ(u_k) de 1 à n

S_n = 2 * Σ(u_k) de 1 à n

Maintenant, nous pouvons utiliser la formule pour la somme de la suite géométrique :

Σ(u_k) de 1 à n = u_1 * (1 - r^n) / (1 - r)

où u_1 est la première valeur de la suite, r est le facteur de la suite (dans ce cas, 2), et n est le nombre d'éléments.

Dans notre cas, u_1 = u_1 = (a + b) * 2^1 = 2(a + b) et r = 2.

S_n = 2 * [u_1 * (1 - 2^n) / (1 - 2)]

S_n = 2 * [2(a + b) * (1 - 2^n) / (1 - 2)]

S_n = 4(a + b) * (1 - 2^n)

Maintenant, nous pouvons substituer les valeurs de a et b que nous avons trouvées précédemment :

S_n = 4(a + b) * (1 - 2^n)

S_n = 4(2 - a) * (1 - 2^n)

S_n = 8(1 - a) * (1 - 2^n)

Maintenant, nous pouvons utiliser cette expression pour déterminer la somme S_n en utilisant un raisonnement de récurrence simple sur n.

Pour le cas de base, n = 1 :

S_1 = 8(1 - a) * (1 - 2^1)

S_1 = 8(1 - a) * (1 - 2)

S_1 = 8(1 - a) * (-1)

S_1 = -8(1 - a)

Maintenant, supposons que l'expression soit vraie pour n = k, c'est-à-dire :

S_k = -8(1 - a) * (1 - 2^k)

Maintenant, montrons que l'expression est également vraie pour n = k + 1 :

S_(k+1) = 8(1 - a) * (1 - 2^(k+1))

S_(k+1) = 8(1 - a) * (1 - 2^k * 2)

S_(k+1) = 8(1 - a) * (1 - 2^k * 2)

S_(k+1) = 8(1 - a) * (1 - 2^k * 2)

S_(k+1) = 8(1 - a) * (1 - 2 * 2^k)

S_(k+1) = 8(1 - a) * (1 - 2) * (1 - 2^k)

S_(k+1) = -8(1 - a) * 1 * (1 - 2^k)

S_(k+1) = -8(1 - a) * (1 - 2^k)

Maintenant, nous avons montré que si l'expression est vraie pour n = k, elle est également vraie pour n = k + 1. Par conséquent, par le principe de récurrence, l'expression est vraie pour tous les entiers positifs n.

Donc, nous avons prouvé que :

S_n = 8(1 - a) * (1 - 2^n)

Et maintenant, nous pouvons utiliser cette expression pour calculer la somme S_n pour n quelconque. Pour n = 1, nous avons déjà calculé S_1. Pour d'autres valeurs de n, vous pouvez utiliser la formule ci-dessus pour obtenir S_n.