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Réponse :

Pouvez vous m'aider pour cette exercice svp merci .​

a) montrer que ;  ∀n∈N ;  un ≥ √3

on note P(n) :   un ≥ √3

. initialisation :  vérifions que pour n = 0,   P(n) est vraie

                u0 = 2 ≥ √3   donc  P(n) est vraie

. hérédité:  soit un entier n ; supposons que P(n) est vraie et montrons que P(n+1) est vraie

H.R  ;   un ≥ √3    on sait  un+1  = f(un)

    donc  f(un) ≥ f(√3)      f(√3) = ((√3)² + 3)/2√3) = 6/2√3 = √3

donc  un+1 ≥ √3

b) montrer que la suite (un) est décroissante

      un+1 - un = 1/2(un + 3/un) - un

                      = 1/2)un + (3/2un) - un

                      = - 1/2)un + 3/2un

                      = - 1/2(un - 3/un)

                      = - 1/2((un² - 3)/un)    or  un ≥ √3 > 0  donc un² - 3 ≥ 0                        

donc   un+1 - un < 0  ⇒ (un) est décroissante sur N

c) la suite (un) est décroissante sur N  et minorée par √3 donc la suite (un) est convergente

2) a) la fonction f est une fonction quotient dérivable sur R*  DONC la fonction est continue sur R*

b) lim un = l  et lim un+1  = l

n→ + ∞               n → + ∞  

l = 1/2(l + 3/l)  ⇔ l = 1/2(l² + 3)/l) ⇔ 2 l² = l² + 3  ⇔ l² = 3   ⇔ l = √3

Explications étape par étape :