1. Pour tout réel x, x² = 4 <= x=2 (pour x²=4, on a aussi x=-2 donc pas d'implication car pas tous les résultats)
2. Pour tout complexe z, z = conjugé de z <=> z est réel (propriété de cours)
3. Pour tout réel x, x = π => e^(2iπ) = 1 (il y a aussi x = 0 car e^(2i * 0) = e^(0) = 1 donc π n'est pas uniqur solution.
Exercice 2 :
1. L'assertion 1 est fausse. Si tu prends un nombre y réel, disons aux extrêmes, 1000 ou -1000. Alors, pour tout réel x, x + y n'est pas nécessairement strictement positif. En effet, si y = -1000, on peut simplement prendre x = 0 et on a 0 - 1000 qui n'est pas strictement positif POUR TOUT RÉEL X (ici ne marche pas par exemple avec 0). De même, pour par exemple, y = 1000. Si on prend x = -1001, cela ne fonctionne pas donc pas tout réel x.
L'assertion 2 est vraie. Pour tout réel x, tu peux trouver un y tel que x + y soit strictement positif. x = 0 ? y = 1 ! x = 1000 ? y = 0 ! x = -∞ ? y = ∞+1 ! etc...
L'assertion 3 est fausse car, pour tout réel x, tous les réels y ne permettent pas "la compensation" vers x + y > 0. Contre-exemple : x = 0, alors tous les réels y ne donnent pas 0 + y < 0 (si y < 0, 0 + y < 0 trivialement).
L'assertion 4 est vraie. En effet, il existe au moins un réel x tel que y² > x pour tout y. Par exemple, pour x = -1, y² > -1 pour tout y puisqu'un carré est toujours positif ou nul et 0 > -1. Cependant, cela ne marcherait pas pour tout réel x, pour tout réel y (contre-exemple de x=0 et y=0).
2. (J'AI ENCORE BEAUCOUP DE MAL AVEC LES NÉGATIONS, IL Y A DE FORTES CHANCES QUE JE ME TROMPE)
a) Pour tout réel x, il existe y réel tel que x + y <= 0.
b) Il existe un réel x tel que, pour tout y réel, x + y <= 0
c) Il existe un réel x et un réel y tels que x + y <= 0
d) Pour tout réel x, il existe y réel tel que y² <= x
Lors la négation, le "il existe" devient "pour tout" et inversement. De plus, la proposition prend la négation, c'est-à-dire que les = deviennent ≠, les ≡ deviennent des "non-congru à" et les < deviennent des => et réciproquement.
Lista de comentários
Verified answer
Réponse:
Exercice 1 :
1. Pour tout réel x, x² = 4 <= x=2 (pour x²=4, on a aussi x=-2 donc pas d'implication car pas tous les résultats)
2. Pour tout complexe z, z = conjugé de z <=> z est réel (propriété de cours)
3. Pour tout réel x, x = π => e^(2iπ) = 1 (il y a aussi x = 0 car e^(2i * 0) = e^(0) = 1 donc π n'est pas uniqur solution.
Exercice 2 :
1. L'assertion 1 est fausse. Si tu prends un nombre y réel, disons aux extrêmes, 1000 ou -1000. Alors, pour tout réel x, x + y n'est pas nécessairement strictement positif. En effet, si y = -1000, on peut simplement prendre x = 0 et on a 0 - 1000 qui n'est pas strictement positif POUR TOUT RÉEL X (ici ne marche pas par exemple avec 0). De même, pour par exemple, y = 1000. Si on prend x = -1001, cela ne fonctionne pas donc pas tout réel x.
L'assertion 2 est vraie. Pour tout réel x, tu peux trouver un y tel que x + y soit strictement positif. x = 0 ? y = 1 ! x = 1000 ? y = 0 ! x = -∞ ? y = ∞+1 ! etc...
L'assertion 3 est fausse car, pour tout réel x, tous les réels y ne permettent pas "la compensation" vers x + y > 0. Contre-exemple : x = 0, alors tous les réels y ne donnent pas 0 + y < 0 (si y < 0, 0 + y < 0 trivialement).
L'assertion 4 est vraie. En effet, il existe au moins un réel x tel que y² > x pour tout y. Par exemple, pour x = -1, y² > -1 pour tout y puisqu'un carré est toujours positif ou nul et 0 > -1. Cependant, cela ne marcherait pas pour tout réel x, pour tout réel y (contre-exemple de x=0 et y=0).
2. (J'AI ENCORE BEAUCOUP DE MAL AVEC LES NÉGATIONS, IL Y A DE FORTES CHANCES QUE JE ME TROMPE)
a) Pour tout réel x, il existe y réel tel que x + y <= 0.
b) Il existe un réel x tel que, pour tout y réel, x + y <= 0
c) Il existe un réel x et un réel y tels que x + y <= 0
d) Pour tout réel x, il existe y réel tel que y² <= x
Lors la négation, le "il existe" devient "pour tout" et inversement. De plus, la proposition prend la négation, c'est-à-dire que les = deviennent ≠, les ≡ deviennent des "non-congru à" et les < deviennent des => et réciproquement.