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Bonsoir,

f(x) = (3x+1)²- 49   de la forme de a² - b² = (a-b)(a+b) définie sur R

1)

f(x) = 9x² + 6x + 1 - 49 = 9x² + 6x - 48 donc de la forme de ax²+bx+c

2) f(x) = (3x+1-7)(3x+1+7) = (3x-6)(3x+8)

3.a) f(0) = 9(0)²-6(0)-48 = -48

f(-1/3) = (3(-1/3)+1)² - 49 = (-1+1)² - 49 = -49

f(2) = (3(2)-6)(3(2)+8) = 0

f(√5) = 9(√5)² + 6(√5) - 48 = 45 + 6√5 - 48 = -3 + 6√5

b)f(x) = 0 en prenant la forme factorisée

f(x) = (3x-6)(3x+8) = 0  produit de facteurs est nul si un facteur est nul alors

soit pour x = 6/3 = 2  soit pour x = -8/3

c) f(x) = 9x²   ⇔   6x - 48 = 0  ⇒ x = 48/6  ⇒ x = 8

d)  minimum de f(x) pour x = -b/2a = (-6)/(2(9)) = -6/18 = -1/3

f(-1/3) = -49  ce qu'il fallait démontrer

Bonne soirée

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Réponse :

1) développer f(x)

f(x) = (3 x + 1)² - 49

     = 9 x² + 6 x + 1 - 49

     = 9 x² + 6 x - 48

2) factoriser f(x)

f(x) = (3 x + 1)² - 49 ⇔ f(x) = (3 x + 1)² - 7²  identité remarquable

a²-b² = (a+b)(a-b)

Explications étape par étape

f(x) = (3 x + 1)² - 7² = (3 x + 1 +7)(3 x + 1 - 7) = (3 x + 8)(3 x - 6)

f(x) = 3(3 x + 8)(x - 2)

a) calculer les images par f de : 0, - 1/3, 2 et √5

f(x) = 9 x² + 6 x - 48 ⇒ f(0) = - 48

f(- 1/3) = (3(-1/3) + 8)(3(-1/3) - 6)

          = (- 1 +8)(- 1 - 6)

          = 7(- 7) = - 49

f(x) = 3(3 x + 8)(x - 2) ⇒ f(2) = 0

f(x) = 9 x² + 6 x - 48 ⇒ f(√5) = 9*√5² + 6√5 - 48

                                              = 45 + 6√5 - 48

                                              = - 3 + 6√5

 f(√5) = 3(2√5 - 1)

b) résoudre f(x) = 0 ⇔ f(x) = 3(3 x + 8)(x - 2) = 0 ⇒ 3 x + 8 = 0 ⇒ x = - 8/3 ou x - 2 = 0 ⇒ x = 2

c) résoudre  f(x) = 9 x²

f(x) = 9 x² + 6 x - 48 = 9 x²  ⇔ 6 x - 48 = 0 ⇒ x = 48/6 = 8

d) montrer que - 49 est le minimum de f

la forme de départ  f(x) = (3 x + 1) - 49  est une forme canonique

de f(x) = 9 x² + 6 x - 48

où  α = - b/2a = - 6/18 = - 1/3

β = f(- 1/3) = 9(-1/3)² + 6(-1/3) - 48

                = 1 - 2 - 48 = - 49  

(α ; β) sont les coordonnées du sommet de la parabole

donc  x = α = - 1/3 et  y = β = - 49