Bonjour pouvez-vous m'aider pour les questions 3)a) et 3)b) je n'arrive pas à montrer que la suite est croissante et qu'elle est majorée par 5000 mais je sais qu'il faut utiliser la formule v(n+1)-vn merci
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Bonjour,à partir du 2)b) :
Un = Vn - 5000
⇒ Un+1 = Vn+1 - 5000
⇔ Un+1 = 0,98Vn + 100 - 5000
⇔ Un+1 = 0,98Vn - 4900
⇔ Un+1 = 0,98(Vn - 5000)
⇔ Un+1 = 0,98Un
⇒ (Un) suite géométrique de raison q = 0,98 et de premier terme U₀ = V₀ - 5000 = 1000 - 5000 = -4000
c) On en déduit : Un = -4000 x (0,98)ⁿ
puis Vn = Un + 5000 = -4000 x (0,98)ⁿ + 5000
3)a)
On sait que : 0 < (0,98)ⁿ ≤ 1
⇒ 0 > -4000 x (0,98)ⁿ ≥ -4000
⇒ 5000 > -4000 x (0,98)ⁿ ≥ -4000 + 5000
⇔ 5000 > Vn ≥ 1000
(Vn) est donc majorée par 5000
b) Vn+1 - Vn = 0,98Vn + 100 - Vn
= -0,02Vn + 100
1000 ≤ Vn < 5000
⇒ -0,02 x 1000 ≥ -0,02Vn > -0,02 x 5000
⇔ -20 ≥ -0,02Vn > -100
⇒ -20 + 100 ≥ -0,02Vn + 100 > -100 + 100
⇔ 80 ≥ Vn+1 - Vn > 0
Donc Vn+1 - Vn > 0 et par conséquent, (Vn) est croissante.
c) (Vn) est croissante et majorée (⇒ (Vn) est convergente, soit lim Vn quand n → +∞ = l, l étant un réel)
(Vn) est croissante ⇒ Au-delà d'un certain rang, Vn > 4500
(Vn) est majorée par 5000 ⇒ Pour tout n, Vn < 5000 < 5500
⇒ A partir d'un certain rang, tous les termes Vn appartiennent à ]4500;5500[