Réponse :

1) calculer la longueur EH

 AHE  triangle rectangle en H ⇒ th.Pythagore, on a; AE² = EH²+AH²

⇔ EH² = AE² - AH²  ⇔ EH² = 1²- (1/2)² = 3/4  ⇒ EH = √3/2

2) a) montrer que le repère (A ; vec(AB) , vec(AD)) est orthonormé

  puisque ABCD est un carré ⇒ AB = AD  et (AB) ⊥(AD)  donc le repère

est orthonormé

    b) déterminer les coordonnées de tous les points de la figure dans le repère (A ; vec(AB) , vec(AD))

A(0 ; 0)

B(1 ; 0)

C(1 ; 1)

D(0 ; 1)

E(1/2 ; √3/2)

F(1 + √3/2 ; 1/2)

c) en déduire que les points D , E et F sont alignés

vec(DF) = (1 + √3/2 ; 1/2  - 1) = (1 + √3/2 ; - 1/2)

vec(DE) = (1/2 ; √3/2   - 1)

D = x y' - y x' = (1 + √3/2)*(- 1 + √3/2) - (- 1/2)*1/2

                     = -(1 - √3/2)(1+√3/2) + 1/4

                     = - (1 - 3/4) + 1/4

                     = - 1/4 + 1/4 = 0

Donc les vecteurs DF et DE sont colinéaires, on en déduit donc que les points D , E et F sont alignés  

Explications étape par étape :