Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

1) Choisis un repère ortho normé (unité 1cm) et garde au moins 8cm au dessus de l'axe des abscisses ceci pour le point D.

2a) Coordonnées du vecCA:

xCA=xA-xC=-1-2=-3   yCA=yA-yC=2-5=-3         vecCA(-3; -3)

b)M est l'image de C par translation de vecteur (1/3)vecCA

xM=xC+(1/3)xCA=2+(1/3)(-3)=1

yM=yC+(1/3)yCA=5+(1/3)(-3)=4          coordonnées de M(1; 4)

3a) si vecAB=vecDC  on peut dire aussi que vecCD=vecBA

D est l'image de C par translation de vecBA

coordonnées de vecBA  (-6; +3)

xD=xC+xBA=2-6=-4      yD=yC+yBA=5+3=8          D(-4; +8)

b) le quadrilatère ABCD a deux côtés opposés // et de même longueur c'est donc un parallélogramme

4a) Si  I est le milieu de [CD]

xI=(xC+xD)/2=(2-4)/2)=-1    yI=(yC+yD)/2=(5+8)/2=13/2           I(-1; 13/2)

b) les points I, M, B  sont alignés si vecIB=k*vecIM

vecIM  (2; -5/2)  vecIB (6;-15/2)  on note que vec IB=3vecIM

les points I, M, B sont donc alignés.

5a) Si J est le milieu de [AB]

xJ=(xA+xB)/2=2  et yJ=(yA+yB)/2=1/2  coordonnées de J(2; 1/2)

b) les droites (DJ)et (BI)  sont // si elles ont le même coefficient directeur

pour (DJ)    a=(yJ-yD)/(xJ-xD)=-5/4

pour (BI)      a'=(yI-yB)/(xI-xB)=-5/4

a=a' les droites (BI) et (DJ) sont //

6a) BA=V[xB-xA)²+(yB-yA)²]=V[6²+(-3)²]=V45=3V5

      BC=même formule         =V[(-3)²+6²)]=V45=3V5

b) le parallélogramme ABCD a deux côtés consécutifs égaux c'est donc un losange.