Réponse :

Explications étape par étape :

Le triangle ABC est rectangle et isocèle en A

On en déduit que l'angle ABC = angle ACB = 45°

1. a) Démontrer que MN = BM.

Considérons le triangle BMN rectangle en M

L'angle NBM valant 45° l'angle MNB vaut aussi 45°

Le triangle BMN rectangle en M ayant deux angles à la base égaux est isocèle

On en déduit que BM = MN

   b) Prouver que BM = QC.

De la même manière on démontre que PQ = QC

Comme MN = PQ (MNPQ est un rectangle)

On en déduit que BM = QC

2)On pose BM = x.

a) Pourquoi le réel x appartient-il à l'intervalle [0 ; 4,5] ?

I étant le milieu de BC    :  BI = IC = 9/2 = 4,5

Le point M appartenant au segment [BI] il peut varier de B à I

et donc x = BM varie de 0 à 4,5

c) Démontrer que l'aire du rectangle MQPN, notée

f (x), s'écrit f(x) = 9x - 2x².

Aire du rectangle = Longueur * largeur

Longueur = 9 - 2x

Largeur = x

Aire = (9 - 2x) * x = 9x - 2x²

F(x) = 9x - 2x²

Justifier que pour tout réel x ∈ [O ; 4,5], on a :

f (x) - 7 = (1 - x)(2x - 7)

f(x) = (1 - x)(2x - 7) + 7

En développant

f(x) = 2x - 2x² - 7 + 7x + 7

f(x) = 9x - 2x²

En déduire les positions du point M sur le segment [BI]

de sorte que l'aire du quadrilatère MNPQ soit supérieure ou égale à 7.

f(x) = (1 - x)(2x - 7) + 7

7 ≤ (1 - x)(2x - 7) + 7

0 ≤ (1 - x)(2x - 7)

0 ≥ 1 - x

x ≥ 1

0 ≥ 2x - 7

2x ≤ 7

x ≤ 7/2

1 ≤ x ≤ 3,5