Réponse :

Explications étape par étape

1) On a Pn la probabilité que le velo soit en A le "n-ieme" jour.

Dans ce premier cas, comme le velo est en A il a 0.7 de probabilité de retourner en A.

Ainsi on a : Pn * 0.7 = Pn+1 (a)

On a (1-Pn) la probabilité que le velo soit en B le "n-ieme" jour.

Dans ce premier cas, comme le velo est en B il a 0.2 de probabilité de retourner en A.

Ainsi on a : (1-Pn) * 0.2 = Pn+1 (b)

Donc la probabilité qu'il soit en A est la somme des probabilités des deux cas : Pn+1 = Pn+1 (a) + Pn+1 (b) = Pn * 0.7 + ( 1-Pn) * 0.2 = 0.7Pn -0.2Pn +0.2

Pn+1 =0.5Pn +0.2

2) a)

Uₙ = Pₙ -0.4

Uₙ₊₁ = Pₙ₊₁ -0.4

Sachant que Pₙ₊₁ = 0.5 Pₙ + 0.2

Uₙ₊₁ =0.5 Pₙ + 0.2 - 0.4

Uₙ₊₁ =0.5 Pₙ - 0.2

Uₙ₊₁ = (1/2) (Pₙ - 0.4)

Uₙ₊₁ = (1/2)Uₙ

U₀= P₀ -0.4 = 0.5 -0.4 = 0.1

Un est donc géométrique, de raison (1/2) et de premier terme 0.1.

b)

Un est une suite géométrique donc :

Uₙ = (1/2)ⁿ x U₀ = (1/2)ⁿ x 0.1

Ainsi on peut déduire Pₙ :

Uₙ = Pₙ -0.4 ⇔  Pₙ  = Uₙ+ 0.4

Pₙ  = (1/2)ⁿ x 0.1 + 0.4

3)

Un tendra vers 0

Si Un tend vers 0 et que :

Donc

Donc la probabilité que le vélo soit en A le "n-ième" est de 0.4