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ABCD est un carré, les côtés AB et DC sont parallèles

1)

Les droites sécantes DI et AC coupées par les parallèles AB et DC

déterminent des triangles AEI et DEC homothétiques

 A E I

 C E D

les rapports de côtés homologues sont égaux

 EA / EC = AI / CD  (1)

2)

I est le milieu de AB et AB = CD :  AI/CD = 1/2

d'après (1)

EA/EC = 1/2

EC = 2EA

comme AC = AE + EC

            AC = AE + 2AE

            AC = 3AE

             AE = 1/3 AC

3)

la droite passant par E et perpendiculaire aux côtés AB et DC

coupe AB en H et DC en H'

dans l'homothétie de centre E et de rapport 1/2

la hauteur EH' du triangle DEC a pour image la hauteur EH du triangle AEI

EH = 1/2 EH'

2EH = EH'

2EH = HH' - EH

3EH = HH'            (la mesure d'un côté est 3 cm)

3EH = 3

EH = 1 (cm)

aire AEI =

base (AI) x hauteur (EH) / 2

 (  1,5       x     1   )             /2

          0,75 (cm²)