Départ : 3^0 = 1

Étape 1 : 3^1 = 3

Étape 2 : 3^2 = 9

1) Combien de triangles verts obtient-on :

à l'étape 2 : 3^2 = 9

à l'étape 4 : 3^4 = 81

à l'étape 20 : 3^20 = 3,49 * 10^9

2) Quel est le périmètre de la figure verte :

à l'étape 1 : p = somme des trois longueurs du triangle

à l'étape 2 : 3 * 1/2^2 * 3^2 = 3 * (1/4) * 9 = 6,75 cm

à l'étape 6 : 3 * 1/2^6 * 3^6 = 3 * (1/64) * 729 = 34,17 cm

3) A quelle étape le périmètre de la figure dépassera t-il 1000 km :

3 * 1/2^n * 3^n > 100000000 cm

3^n/2^n > 100000000/3

Ln (3^n/2^n) > Ln (100000000/3)

Ln (3/2)^n > > Ln (100000000/3)

n Ln (3/2) > Ln (100000000/3)

n > Ln  (100000000/3) / Ln (3/2)

n > 42,72

Donc à l'étape 43