Réponse :

(Em) :   (m + 4) x² + m x + (m - 1) = 0

a) déterminer le discriminant  Δm de l'équation (Em) en fonction de m

            Δm = m² - 4(m + 4)(m - 1)

                   = m² - 4(m² - m + 4 m - 4)

                   = m² - 4(m² + 3 m - 4)

                   = m² - 4m² - 12 m + 16

              Δm = - 3 m² - 12 m + 16

b) déterminer les solutions de l'équation pour m = 0

 pour m = 0 ⇒  (E0) :  4 x² - 1 = 0   ⇔ (2 x)² - 1² = 0   identité remarquable

a²-b² = (a+b)(a-b)

donc  on a ;  (2 x + 1)(2 x - 1) = 0    produit de facteurs nul

2 x + 1 = 0  ⇔ x = - 1/2  ou  2 x - 1 = 0  ⇔ x = 1/2

c) étudier le nombre de solutions de l'équation (Em) en fonction des valeurs de m

lorsque  Δm > 0  ⇔  - 3 m² - 12 m + 16 > 0  

δ = 144 + 192 = 336

m1 = 12 + √336)/- 6  = - 2 - (√336)/6 ≈ - 5.06  

m2 = 12 - √336)/- 6  = - 2 + (√336)/6 ≈ 1.06

  m  - ∞             - 5.06              1.06              + ∞  

Δm            -          0          +        0         -

donc lorsque  m ∈ ]- 5.06 ; 1.06[   l'équation (Em) possède 2 solutions distinctes

lorsque  Δm = 0   ⇔ m = - 5.06  ou m = 1.06   l'équation (Em) possède une seule solution

lorsque  Δm < 0  ⇔  m ∈ ]- ∞ ; - 5.06[U]1.06 ; + ∞[  l'équation (Em) ne possède aucune solution